Dispense

110 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Viceversa, supponiamo che X = AZ + sia un vettore gaussiano secondo la de…nizione 30,
con Z di dimensione n ed A invertibile. La densità congiunta di Z è fZ (z) =
Per il Corollario 4, X ha densità congiunta, data da
Sostituendo la formula di fZ troviamo
fX (x) =
=
fX (x) = fZ A 1 (x )
jdet Aj
1
p (2 ) n jdet Aj jdet Aj exp
1
p (2 ) n jdet (AA T )j exp
:
A 1 (x ) T A 1 (x )
(x ) T AA T 1 (x )
2
2
1
p(2 ) n exp
e quindi X è gaussiano N ; AA T secondo la de…nizione 31. La dimostrazione è completa.
Osservazione 41 La densità di un vettore gaussiano (quando Q è invertibile) è determinata
dal vettore dei valori medi e dalla matrice di covarianza. Questo fatto fondamentale verrà
usato più tardi nello studio dei processi stocastici. Usando il concetto di legge di un vettore
aleatorio, questo fatto vale anche nel caso degenere, senza densità, in cui si deve usare la
de…nizione 30, però i dettagli sono meno elementari.
Osservazione 42 Alcuni dei risultati precedenti sono molto utili se vogliamo generare vettori
aleatori secondo una legge gaussiana speci…cata. Assumiamo di aver prescritto la media
e la covarianza Q, n-dimensionali, e vogliamo generare un punto casuale (x1; :::; xn) dalla
N ( ; Q). Per far questo possiamo generare n numeri casuali indipendenti z1; :::; zn dalla
normale standard 1-dimensionale e calcolare
p Qz +
dove z = (z1; :::; zn). Per avere le componenti della matrice p Q, se il software non le fornisce
automaticamente (alcuni software lo fanno), possiamo usare la formula p Q = U p QeU T .
La matrice p Qe è ovvia. Per ottenere la matrice U si ricordi che le sue colonne sono gli
autovettori e1; :::; en scritti nella base di partenza. Basta quindi che il software sia in grado
di e¤ettuare la decomposizione spettale di Q.
Curve di livello
Come abbiamo già accennato sopra, un modo di visualizzare un gra…co in due dimensioni è
quello di tracciare le sue curve di livello. Data f : R2 ! R, la curva di livello a è il luogo
dei punti x 2 R2 tali che f (x) = a. Nel caso di una densità f, essendo positiva, ha senso
esaminare solo il caso a > 0. Nel caso della gaussiana N ( ; Q), dobbiamo capire l’equazione
1
p (2 ) n det(Q) exp
(x ) T Q 1 (x )
2
!
= a:
!
!
z T z
2
.