Dispense

1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 43
e vale se P1 k=0 jakj p (k) < 1. A parole, il valore atteso è la somma dei valori per le loro
probabilità, o la media dei valori pesati con le loro probabilità.
Non avendo dato la de…nizione, non possiamo ovviamente dimostrare il teorema. Osserviamo
solo che a volte esso viene scelto come de…nizione, anche se questa impostazione è
sia restrittiva (il valor medio si può de…nire anche per molte v.a. che non sono né continue
né discrete), sia limitativa per quanto riguarda la possibilità di svolgere poi dimostrazioni
rigorose di importanti teoremi.
Vediamo però una interpretazione intuitiva della seconda formula del teorema, per semplicità
nel caso di una v.a. X discreta che assume solo un numero …nito di valori a1; :::; aM.
Vale E [X] = PM k=0 akp (k). Supponiamo di avere un campione sperimentale x1; :::; xn estratto
da questa v.a.; indichiamo con bn (k) è il numero di elementi di questo campione uguali ad
ak e con bp (k) il rapporto bn(k)
n cioè la percentuale degli elementi del campione che valgono ak.
Ci aspettiamo che bp (k) sia circa uguale a p (k):
bp (k) p (k) :
Ma allora, raggruppando la somma x1 + ::: + xn secondo i valori assunti dai vari elementi
(scambiando ovviamente i termini)
otteniamo
x1 + ::: + xn = (a1 + ::: + a1) + ::: + (aM + ::: + aM)
= bn (1) a1 + ::: + bn (M) aM
x = x1 + ::: + xn
=
n
bn (1) a1 + ::: + bn (M) aM
n
= bn (1)
n a1
bn (M)
+ ::: +
n aM
= bp (1) a1 + ::: + bp (M) aM p (1) a1 + ::: + p (M) aM = E [X] :
Abbiamo cioè veri…cato la seguente a¤ermazione: se le percentuali sperimentali bp (k) sono
circa uguali alle probabilità teoriche p (k), allora la media aritmetica x è circa uguale alla
media teorica E [X].
In…ne, si riconosce che l’espressione della media nel caso di v.a. continue è l’estensione
naturale al continuo della formula per le v.a. discrete. Per tutte queste ragioni il risultato
del teorema è molto naturale (e viene a volte preso come de…nizione di valo medio).
Il teorema precedente si generalizza a funzioni di variabili aleatorie:
Teorema 8 Se X è una v.a. continua con densità f(x), allora
E [' (X)] =
Z +1
1
' (x) f (x) dx
per ogni funzione ' (x) per cui abbia senso l’integrale. Analogamente, se X è una v.a. discreta
con densità di massa p(k), allora
E [' (X)] =
1X
' (k) p (k) :
k=0