Dispense

108 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
In altre parole, le componenti di (Y1; :::; Yn) sono v.a. indipendent N (( e) i ; i) e quindi
E [Yi] = ( e) i ; Cov (Yi; Yj) = ij i:
Dagli esercizi 14 e 15 deduciamo che X = U T Y ha media
e covarianza
X = U T Y
QX = U T QY U:
Essendo Y = e e e = U deduciamo X = U T U = . Ma QY = Qe e Q = U T QeU, per
cui QX = Q. La dimostrazione è completa.
De…nizione 31 Dato un vettore = ( 1; :::; n) ed una matrice n n simmetrica de…nita
positiva Q, chiamiamo vettore gaussiano di media
X = (X1; :::; Xn) avente densità congiunta
e covarianza Q un vettore aleatorio
f (x) =
1
p (2 ) n det(Q) exp
dove x = (x1; :::; xn) 2 R n . Scriviamo X N ( ; Q).
(x ) T Q 1 (x
2
!
)
Proposizione 12 Se X = (X1; :::; Xn) è un vettore gaussiano N ( ; Q) secondo questa
de…nizione, B è una matrice invertibile n n e c 2 R n , allora Y = BX + c è gaussiano
N B + c; BQB T .
Proof. Per il Corollario 4, Y ha densità congiunta, data da
Sostituendo la formula di fX troviamo
fY (y) =
Da un lato
Dall’altro,
B 1 (y c)
1
p (2 ) n jdet Bj det(Q) jdet Bj exp
fY (y) = fX B 1 (y c)
jdet Bj
:
B 1 (y c)
jdet Bj det(Q) jdet Bj = det(BQB T ):
T Q 1 B 1 (y c)
T Q 1 B 1 (y c) = B 1 (y c B ) T Q 1 B 1 (y c B )
2
= Q 1 B 1 (y c B ) ; B 1 (y c B )
=
D
B 1 T Q 1 B 1 (y c B ) ; y c B
= (y c B ) T (BQB T ) 1 (y c B ) :
!
:
E