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186 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI quindi 1 2N + 1 X n2 (N;t) E [X (t + n) X (n)] = jR (t)j " jtj ((2N + 1) ^ jtj) " jtj : 2N + 1 Dato > 0, sia t0 tale che " jtj per ogni t ogni N N0. Non è restrittivo assumere " jtj vale t0 t0. Prendiamo N0 t0 tale che 2N+1 1 per ogni t. Allora, per N N0, se t per t0 ((2N + 1) ^ jtj) " jtj t0" jtj t0 2N + 1 2N + 1 2N + 1 e se t t0 vale ((2N + 1) ^ jtj) " jtj 2N + 1 ((2N + 1) ^ jtj) 2N + 1 Abbiamo dimostrato la seguente a¤ermazione: per ogni > 0 esiste N0 tale che ((2N + 1) ^ jtj) " jtj 2N + 1 per ogni N N0, uniformemente in t. Quindi anche 1 2N + 1 X n2 (N;t) per ogni N N0, uniformemente in t. Quindi jrN (!)j = 1 1 p 2N + 1 2 X t2Z 1 1 p 2N + 1 2 X n2 (N;t) E [X (t + n) X (n)] X e i!t 2 4 X t2Z n2 (N;t) E [X (t + n) X (n)] : jR (t)j " jtj 3 E [X (t + n) X (n)] 5 1 p 2 X t2Z jR (t)j " jtj = C p 2 dove C = P jR(t)j t2Z " < 1. Questa è la de…nizione di limN!1 rN (!) = 0 uniformemente in jtj ! 2 [0; 2 ]. La dimostrazione è completa. Questo teorema fornisce un’interpretazione della PSD. La trasformata di Fourier b XT (!) identi…ca la struttura frequenziale del segnale. Il quadrato b XT (!) 2 elimina l’informazione riguardante la fase e mantiene quella riguardante l’ampiezza, ma nel senso dell’energia (il quadrato). E’il cosidetto spettro dell’energia. Così, in base al teorema, la PSD relativa al valore ! è l’ampiezza quadratica media della componente a frequenza f = ! 2 . Per questo la PSD è un buon strumento per identi…care componenti oscillatorie in una serie temporale ed osservare la loro ampiezza. Dalla PSD, si può avere una prima impressione nelle fasi preliminari dell’analisi di una serie storica.
3.6. DENSITÀ SPETTRALE DI POTENZA 187 Osservazione 63 Sotto ipotesi più forti che includono anche l’ergodicità, si puà dimostrare che S (!) = lim N!1 1 2N + 1 b X2N (!) 2 1 senza valore atteso, ad esempio in probabilità. Si noti che aletoria mentre il suo limite è deterministico. 2N+1 b X2N (!) 2 è una quantità
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Elementi di Probabilità, Statistic
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