Dispense

5.8. SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI 311
scopi è troppo complesso. Usiamo uno stratagemma: se x[k + 1] diventa negativo, lo poniamo
uguale a zero.
Il parametro è a scelta. Vediamo se lo si può usare per avere una acf simulata somigliante
alla ecf empirica. Si può agire ad occhio per tentativi oppure calcolare sulla ecf empirica il
numero
log emp (xt; x0)
= lim
t!1 t
che rappresenta il tasso di decadimento a zero della ecf empirica, poi cercare in modo che
la stessa quantità sulla serie simulata sia uguale. Attenzione sempre alla scala dei tempi.
5.8 Soluzione degli esercizi
Soluzione esercizio 33. i) In 4 passi ci sono i seguent modi di andare da 5 a 4:
per cui la probabilità richiesta vale
1
3
1
3
1
3
1 + 1
3
1
3
5 ! 5 ! 5 ! 3 ! 4
5 ! 5 ! 3 ! 4 ! 4
5 ! 3 ! 4 ! 3 ! 4
5 ! 3 ! 4 ! 4 ! 4
1 1
1 +
2 3
1 1
2
1 + 1
3
1 1
2
1
= 0:342 59:
2
ii) Gli stati 1 e 2 comunicano tra loro e con nessun altro, quindi formano una classe chiusa
irriducibile. Lo stesso vale per 3 e 4. Lo stato 5 porta in 1 (ed in 3), da cui non può tornare,
quindi è transitorio.
iii) Nella classe f1; 2g la matrice è bistocastica, quindi la misura invariante è ( 1; 2) =
1 ;
1
1
2 2 . Nella classe f3; 4g il bilancio di ‡usso in 3 ci dà l’equazione 2 4 = 3 a cui dobbiamo
unire la 3 + 4 = 1. Sostituendo al prima nella seconda troviamo 1
2 4 + 4 = 1 da cui
4 = 2
3 , e quindi 3 = 1
3 . Le misure invarianti del sistema complessivo hanno quindi la forma
1
2
; 1
2
1 2
; 0; 0; 0 + (1 ) 0; 0; ;
3 3 ; 0 = 2 ; 1
;
2
3
; 2 1
3
al variare di 2 [0; 1].
Soluzione esercizio 34. i) Detti 1 = (A; A), 2 = (A; B), 3 = (B; B), 4 = (B; A) i
quattro stati, vale ad esempio
P ((A; A) ! (A; A)) = P (secondo agente non cambia) = 1=2
P ((A; A) ! (A; B)) = P (secondo agente cambia) = 1=2
P ((A; A) ! (B; B)) = 0
P ((A; A) ! (B; A)) = 0
; 0