Dispense

358 CAPITOLO 6. STATISTICA MULTIVARIATA
quadrato di tutti i punti di W1 da M1
ed analogamente per W2: d2 2
numero d2 1 + d22 d 2 1 = X
Q2W1
d 2 (Q; M1)
P
= Q2W2 d2 (Q; M2). Questa suddivisione è caratterizzata dal
; se tale numero è alto, la suddivisione viene considerata poco buona (i punti
di ciascun gruppo distano troppo dal loro centro). In generale, per k gruppi, il numero da
calcolare è
kX X
d 2 (Q; Mi) :
i=1 Q2Wi
Si vorrebbero trovare i punti Mi che rendono minima questa espressione. Si possono inventare
vari algoritmi che cercano di trovare dei buoni centri Mi. L’algoritmo k-means lavora su centri
Mi che vengono presi, ad ogni passo dell’algoritmo iterativo, pari alla media aritmetica dei
punti di Wi (poi vengono ricalcolati i Wi, poi i loro punti medi Mi e così via). L’algoritmo kmedoids
utilizza invece come centri alcuni dei punti di W stesso, aggiornando iterativamente
i medoidi (alla ricerca dei migliori) attravero scambi causali tra i medoidi e gli altri punti di
W . Gli algoritmi di¤eriscono poi, tra altre cose, per la distanza d (Q; Mi) che viene utilizzata
(rimandiamo alla letteratura specializzata per questi ed altri dettagli).
Questi algoritmi hanno un difetto: raggruppano secondo la minima distanza dai centri,
quindi tendono a costruire dei raggruppamenti equilibrati, della stessa grandezza. Questa
simmetria può essere poco adatta a certe applicazioni, in cui si capisce ad occhio che i punti
Q 2 W sono divisi in gruppi di ampiezza di¤erente, per esempio una grossa nuvola con una
piccola nuvola satellite. Gli algoritmi descritti …no ad ora forzerebbero la suddivisione ad
essere abbastanza simmetrica, attribuendo una parte di punti della grossa nuvola alla parte
Wi relativa al piccolo satellite. C’è allora una variante, detta algoritmo EM (Expectation-
Maximization) basata sulle misture di gaussiane e la massima verosimiglianza, che permette
di trovare partizioni diseguali, più aderenti a certe dituazioni pratiche.
In genere il software, come input di un particolare metodo di clustering (k-means ecc.),
chiede i punti Q 2 W (una tabella di dati come quella di PCA) ed il numero di classi k in cui
vogliamo suddividerli. Come output fornisce le classi trovate, in genere elencando gli elementi
delle classi, e fornendo una ra¢ gurazione gra…ca dei punti separati in gruppi, ra¢ gurazione
spesso legata a PCA. Infatti, se i punti Q 2 W stanno in uno spazio a dimensione maggiore di
2, il modo più naturale è innanzi tutto mostrare questi punti attraverso una visione che li distingua
il più possibile (e questo è svolto da PCA), sovrapponendo poi ad essa la suddivisione
in gruppi. Esistono anche visualizzazioni tridimensionali a colori.
Oltre a questo, il software fornisce in output dei parametri numerici che servono a giudicare
la suddivisione ottenuta, il più comune dei quali è la silhoutte. Tramite questi numeri abbiamo
una quanti…cazione della bontà o vaghezza dei cluster ottenuti che, oltre ad essere un metro
di giudizio di tipo assoluto, può essere utilizzato in modo comparativo per decidere il numero
k. Esso era stato scelto a priori, ma con quale criterio? Ci saranno casi in cui, o per ragioni
di evidenza gra…ca o per motivi applicativi, sapremo come decidere k a priori; altri in cui si
va per tentativi e si sceglie k a posteriori: quello che massimizza la silhouette.