Dispense

80 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
y
3
2
1
0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Queste densità possono essere usate per quanti…care la nostra …ducia nel valore di una
grandezza aleatoria p che sia compresa tra 0 ed 1, ad esempio una frequenza relativa o una
probabilità.
1.3.11 Code pesanti; distribuzione log-normale
Si dice che una v.a. X ha coda pesante (heavy tail) se la sua densità decade meno che
esponenzialmente. Un caso limite è
f (x) = C
1 + x
con positivo ma piccolo, 2 (1; 2). Serve > 1 per avere una densità (altrimenti l’integrale
diverge). Vale
Z 1
= x C
dx = +1
1 + x
se 2 (1; 2)
(infatti x C
1+x
0
C
x 1 all’in…nito, ed 1 2 (0; 1) non è una potenza integrabile).
Quindi esistono v.a. a media in…nita, pur assumendo valori …niti.
Tra gli esempi che si incontrano spesso nelle applicazioni ci sono le log-normali. Se X è
una v.a. gaussiana o normale, la v.a.
Y = e X
è detta log-normale (una log-normale è una variabile il cui logaritmo è normale). Essere ad
esponente provoca l’occorrenza di valori enormi, ogni tanto. Nel senso: se tipicamente X vale
circa 2-4, ma ogni tanto assume un valore dell’ordine di 5, i valori di Y saranno tipicamente
del tipo 7-55, ma ogni tanto anche dell’ordine di 150.
I parametri di una log-normale sono media e deviazione della normale corrispondente.
Per mimare i numeri appena dati, prendiamo una gaussiana di media 3 e deviazione 1. Ecco
il gra…co della relativa log-normale:
x