Dispense

3.2. PROCESSI STAZIONARI 157
gli istanti legati ai tempi Ti). Il software R permette una qualche analisi di questi processi,
tramite il package “spatial”.
Un modo approssimato di produrre dei punti di Poisson nel piano è quello di produrre
dei punti distribuiti in modo uniforme. Però la densità uniforme ha senso solo su insiemi limitati,
per questo è un’approssimazione. Si può quindi prendere un grande intervallo [ L; L],
generare delle coppie (X; Y ) di coordinate indipendenti, ciascuna uniforme in [ L; L].
3.2 Processi stazionari
Un processo stocastico si dice stazionario in senso lato se t e R (t + n; t) sono indipendenti
da t.
Ne segue che anche t, C (t + n; t) e (t + n; t) sono indipendenti da t. Quindi possiamo
parlare di:
i) media del processo
ii) deviazione standard
iii) funzione di covarianza C (n) := C (n; 0)
iv) funzione di autocorrelazione (nel senso improprio descritto sopra)
R (n) := R (n; 0)
v) coe¢ ciente di autocorrelazione (o anche funzione di autocorrelazione, nel linguaggio
della Statistica)
(n) := (n; 0) :
Si noti che è sparita una variabile temporale da ciascuna delle precedenti quantità. Le
funzioni di autocorrelazione ecc. restano funzioni, ma solo di una variabile, non più di due.
Un processo stocastico si dice stazionario in senso stretto se la legge di un generico vettore
(Xn1+t; :::; Xnk+t) è indipendente da t. Questa condizione implica la stazionarietà in senso
debole. Il viceversa non vale in generale ma vale almeno per i processi gaussiani (si veda
sotto).
Esempio 79 (WN) Abbiamo
quindi
R (t; s) = 2
R (n) = 2
(t s)
Osservazione 47 (RW) La RW non è stazionaria, come si vede ad esempio dalla formula
n = p n :
Esempio 80 (equazione lineare con smorzamento) Si consideri la seguente variante con
smorzamento della RW:
Xn+1 = Xn + Wn; n 0
dove (Wn) n 0 è un white noise di intensità 2 e
2 ( 1; 1) :
La seguente …gura è stata ottenuta col software R tramite i comandi ( = 0:9, X0 = 0):
(n) :