Dispense

162 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI
come per (k). Se avessimo preso altre espressioni come de…nizione di b (k), come ad esempio
bC(k)
b 2 o addirittura b R(k) b 2
b 2
, che per certi versi potevano essere più semplici, avremmo poi
potuto trovare valori di jb (k)j eccedenti l’unità, cosa assurda ma anche assai spiacevole per gli
usi pratici, visto che la proprietà j (k)j 1 è proprio la base, adimensionale, universale, che
permette di giudicare la presenza o meno di correlazione. Di fronte ad un valore b (k) = 0:95
non avremmo saputo dire se era alto o meno, visto che il valore massimo non era più 1 ma
chissà quale, a seconda delle patologie create dalle espressioni usate per b (k).
Osservazione 48 Il comando acf del software R calcola b (k).
Osservazione 49 Il calcolo di b (k) basato sulla formula (3.1) ha senso anche senza stazionarietà
del processo (lo stesso vale per b C (k), ma non per b, b 2 , b R (k)). Si sta calcolando il
coe¢ ciente di correlazione tra due sequenze di numeri
x1; :::; xn k
xk+1; :::; xn
cosa che ha senso e può essere utile qualunque sia la natura di queste sequenze. Se il coe¢
ciente di correlazione è elevato, nel senso che è prossimo ad 1, vuol dire che le due
sequenze sono linearmente legate, in modo approssimato. Questo fatto sarà noto dalla statistica
elementare, dalla regressione lineare, oppure può essere visto ad occhio pensando che
l’espressione
nX k
(xi b0) (xi+k bk) i=1
è grande (non si pensi all’unità di misura ed allo sparpagliamento dei numeri stessi, eliminato
dalla divisione per b0bk) se i numeri xi e xi+k si trovano, al variare di i, concordemente dalla
stessa parte rispetto a b 0 e b k, quindi le coppie (xi; xi+k) stanno approssimativamente su una
retta a coe¢ ciente angolare positivo.
Osservazione 50 Intanto, l’osservazione precedente mostra che se la serie storica è approssimativamente
periodica di periodo P , allora quando si trasla proprio di P , cioè si
considerano le sequenze
x1; :::; xn P
xP +1; :::; xn
esse sono approssimativamente uguali e quindi si trova elevata correlazione. Il numero b (P )
è alto, prossimo a 1.
Esempio 81 Vediamo cosa accade se c’è un trend. Immaginiamo ad esempio che la serie
storica abbia la forma
xi = a i + b + "i; i = 1; 2; :::; n