Dispense

1.4. TEOREMI LIMITE 87
Esempio 59 Riprendendo l’esempio precedente, supponiamo per semplicità la simmetria, e
supponiamo che dai dati si possa stimare b4
P X20 > 30min
5. Allora
20 5 + 4
2
20 19
54 = 3: 808:
Questa stima non serve a nulla. Abbiamo mostrato questo risultato negativo per chiarire che
le costanti davanti agli in…nitesimi possono vani…carne l’uso pratico.
Esempio 60 Valutiamo però l’intervallo di con…denza con " = 1 h. Col primo metodo
avremmo scoperto
E [T ] = 180 60 min
con con…denza 1
1
20 = 0:95. Ora invece vale
P X20 > 1h
20 5 + 4
2
20 19
204 = 0:015:
Quindi l’a¤ermazione E [T ] = 180 60 min vale in realtà con con…denza 1 0:015 = : 985.
Questo esercizio fa capire che le stime (1.4) e (1.5) non sono ottimali, in generale: sotto
opportune ipotesi di maggior integrabilità di X il decadimento è più rapido. Nel seguito della
lezione si dimostrerà un teorema di decadimento esponenziale.
1.4.3 Legge forte dei grandi numeri
Una LGN relativamente alla converganza quasi certa viene detta legge forte dei grandi numeri
(LGN forte).
Teorema 18 Sia X1; X2; :::; Xn; ::: una successione di v.a. indipendenti ed identicamente
distribuite, con media …nita. Allora vale la LGN forte.
Vale anche il seguente teorema (di Ratchmann):
Teorema 19 Sia X1; X2; :::; Xn; ::: una successione di v.a. scorrelate (Cov (Xi; Xj) = 0 per
ogni i 6= j), con limn!1 E [Xn] = e varianze equilimitate. Allora vale la LGN forte.
Le dimostrazioni sono complesse e le omettiamo. Cerchiamo invece di apprezzare la
di¤erenza di informazione pratica che fornisce la LGN forte rispetto a quella debole. In
genere tutti noi abbiamo la seguente convinzione: che se lanciamo una moneta per un gran
numero di volte, per circa la metà di volte verrà testa; e che se continuassimo all’in…nito i
lanci, la frequenza relativa (numero di teste diviso numero di lanci) tenderebbe esattamente
ad 1
2 . Il procedimento, pur ipotetico, di continuare i lanci all’in…nito e studiare il limite delle
frequenze relative corrisponde esattamente alla legge forte. Infatti, si sta considerando una
ben precisa storia (sequenza) in…nita !, quella che accade continuando all’in…nito i lanci, e
relativamente a quella si stanno calcolando le medie parziali Xn (!) e se ne studia il limite
per n ! 1. Solo il concetto di convergenza quasi certa e la LGN forte esaminano questo
tipo di procedimento.