Dispense

350 CAPITOLO 6. STATISTICA MULTIVARIATA
Pensiamo ad un esempio: supponiamo che gli individui siano le nazioni europee e che, per
una certa nazione, sia Y = 1 se la nazione migliora la propria condizione economica (Y = 0
altrimenti) durante l’anno 2011. I predittori potrebbero essere gli investimenti in ricerca, e
così via del 2010. Noti i valori dei predittori, la casualità non è certo esaurita, quindi Y resta
aleatorio, ma la sua legge (cioè p) è ora determinata, nota. Nel modello RLog si suppone che
la probabilità p di miglioramento sia nota quando sono noti i predittori. Inoltre si suppone
che p dipenda dai predittori solo attraverso la loro combinazione a¢ ne .
Un altro esempio: gli individui sono esemplari di complessi sistemi meccanici o elettronici,
Y = 1 se il sistema funziona per un anno, i predittori possono essere valori misurati di
caratteristiche meccaniche ecc. di sottoparti, del materiale ecc.
Essendo p una probabilità, non possiamo pensare che la relazione tra p ed sia del tipo
p = , cioè
p = a1x1 + ::: + apxp + b
altrimenti otterremmo per p valori anche esterni a [0; 1]. Si deve adottare un modello del tipo
g (p) = a1x1 + ::: + apxp + b
dove g è una funzione de…nita in [0; 1] a valori reali, invertibile. In modo che sia
p = g 1 (a1x1 + ::: + apxp + b) :
Una scelta molto comune è la funzione detta logit
g (p) = log
p
1 p
Per p ! 0 essa tende a 1, mentre per p ! 1 tende a +1; ed è strettamente crescente,
oltre che regolare. La sua funzione inversa è
[Infatti log
p
1 p
= ,
p
1 p
exp( )
1+exp( ) .] In de…nitiva, il modello è
Y B (1; p) con p =
g 1 ( ) =
:
exp ( )
1 + exp ( )
= exp ( ), p = (1 p) exp ( ), p (1 + exp ( )) = exp ( ), p =
exp ( )
1 + exp ( ) dove = a1x1 + ::: + apxp + b:
Quando i coe¢ cienti a1; :::; ap; b sono divenuti noti, preso un nuovo individuo, calcolati i valori
dei suoi predittori x1; :::; xp, si calcola la probabilità p relativa a quell’individuo (probabilità
di questo o quell’accadimento, dipende dal problema). Se p è molto elevata, siamo abbastanza
sicuri che per quell’individuo sarà Y = 1, mentre se è molto bassa, conteremo che sia Y = 0;
nel mezzo ovviamente c’è molta indecisione sul valore di Y di quell’individuo, pur valendo
comunque che se p > 1=2 è più probabile Y = 1 e viceversa.
Nella teoria generale dei modelli lineari generalizzati, il numero = a1x1 + ::: + apxp + b
viene detto predittore lineare, la funzione g 1 viene detta link function e la funzione g viene
detta mean function. Nella regressione logistica, la link function è la funzione logistica,
rappresentata in …gura.