Dispense

22 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Infatti, numeriamo gli elementi di 0 come !1; :::; !n. Ogni parte A 0 si può mettere
in corrispondenza con la stringa di zeri ed uni (x1; :::; xn) in cui xi = 1 se !i 2 A; oppure
in corrispondenza con la funzione f : 0 = f!1; :::; !ng ! f0; 1g che vale 1 nei punti di A
(detta anche indicatrice di A, f = 1A). Queste due corrispondenze sono biunivoche. Quindi
P ( 0) ha tanti elementi quante sono le stringhe (x1; :::; xn) di zeri ed uni, ovvero 2 n .
De…nizione 12 Chiamiamo permutazione di n elementi una qualsiasi applicazione biunivoca
f : f1; :::; ng ! f1; :::; ng.
Colloquialmente, una permutazione di n elementi è un possibile scambio del loro ordine.
Sia l’insieme di tutte le permutazioni. Vale
j j = n!
Per veri…carlo basta pensare ai seguenti esperimenti: nel primo si sceglie dove mandare 1 e
per questo ci sono n possibilità; nel secondo si sceglie dove mandare 2 e per questo ci sono
n 1 possibilità (la casella occupata da 1 non può più essere scelta); e così via.
Osservazione 11 Nel principio di enumerazione, il numero n2 può dipendere dal fatto che
è stato svolto un primo esperimento - come in questo esempio delle permutazioni - ma non
deve dipendere dall’esito del primo esperimento. Si pensi ad un gioco in cui prima si lancia
un dado, poi, se è uscito un pari si lancia un secondo dado altrimenti una moneta. Il numero
dei risultati possibili del secondo esperimento dipende dall’esito del primo. Non siamo quindi
nell’ambito del principio di enumerazione.
Esempio 13 Dato un insieme di n oggetti diversi, in quanti modi diversi li possiamo ordinare?
In altre parole, vogliamo costruire stringhe ordinate (x1; :::; xn) in cui gli oggetti
x1; :::; xn sono diversi tra loro, presi da un insieme pre…ssato di n oggetti. Lo si può fare in
n! modi.
De…nizione 13 Chiamiamo disposizione di k elementi in n posti una qualsiasi applicazione
iniettiva f : f1; :::; kg ! f1; :::; ng. Dev’essere k n.
Colloquialmente, una disposizione di k elementi in n posti è un modo di disporre k oggetti
diversi in n caselle diverse.