Dispense

210 CAPITOLO 4. ANALISI E PREVISIONE DI SERIE STORICHE
Vediamo più rigorosamente le cose al viceversa: dato un white noise ("t) t2Z de…niamo Xt
tramite questa uguaglianza. E’una de…nizione ammissibile e fornisce un processo stazionario,
soluzione del modello ARMA(p; q) di partenza?
Teorema 30 Sotto l’ipotesi (4.5) per le radici del polinomio p, la serie P 1
j=0 ' j"t j converge
in media quadratica e de…nisce un processo Xt che è stazionario e soluzione del modello
ARMA(p; q) a cui sono associati i coe¢ cienti ' j. In particolare, esiste una soluzione
stazionaria di tale modello ARMA(p; q).
Proof. Non diamo tutti i dettagli della dimostrazione ma solo l’idea.
Passo 1. Intanto, g è analitica in un intorno aperto di jzj 1 (come osservato nella
sezione 4.2.8) e quindi il suo sviluppo g (x) = P 1
j=0 ' jx j converge uniformemente in jzj
1. In particolare i coe¢ cienti ' j esistono. Consideriamo la serie P 1
j=0 ' j"t j. Vale, per
l’indipendenza del WN (usiamo regole valide per somme …nite anche nel caso in…nito; è ad
esempio qui che tralasciamo alcuni dettagli della diostrazione rigorosa completa),
2 3
1X
V ar 4 'j"t 1X
j5
= 'j 2
V ar ["t j] = 2
1X
'j 2
j=0
j=0
e questa serie è …nita, come osservato nella sezione 4.2.8. Da questo è possibile dimostrare
che P1 j=0 'j"t j converge in media quadratica (bisogna usare il fatto che una successione di
Cauchy in media quadratica converge).
Passo 2. Chiamiamo Xt il suo limite. E’ un processo stazionario. Che la media sia
costante è facile, usando di nuovo regole sui valori medi delle serie che non abbiamo spiegato
nel corso:
2 3
1X
E 4
1X
5 = 'jE ["t j] = 0:
j=0
Poi vale, sempre per regole simili
2
1X
R (s; t) = E 4
=
1X
j=0
j=0 k=0
' j"t j
' j"t j
1X
k=0
j=0
' k"s k
3
5 =
1X
'j'k (t s j + k)
1X
j=0 k=0
j=0
1X
'j'kE ["t j"s k]
che dipende quindi solo da t s. Quindi la stazionarietà è veri…cata.
Passo 3. In…ne, dobbiamo veri…care che
1
pX
!
1X
'jL j "t =
qX
1 +
!
"t:
Euristicamente è ovvio:
k=1
1
kL k
pX
k=1
j=0
kx k
!
g (x) =
1 +
k=1
qX
k=1
kL k
kx k
!