Dispense

172 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI
di numeri reali o complessi x = (xn) n2Z . Scriveremo anche x (n) al posto di xn quando sarà
conveniente. Il tempo sarà sempre bilaterale.
Conviene introdurre lo spazio vettoriale l2 di tutte le serie temporali x = (xn) n2Z tali che
X
jxnj 2 < 1:
n2Z
Il numero P
n2Z jxnj 2 viene a volte interpretato come una forma di energia. Le serie temporali
che appartengono a l2 sono dette serie a energia …nita.
Un altro spazio importante è l1 delle serie temporali tali che
X
jxnj < 1:
n2Z
Si noti che quest’ipotesi implica energia …nita in quanto
X
jxnj 2
sup jxnj
n2Z
X
jxnj
n2Z
e supn2Z jxnj è limitato perché i termini della serie convergente P
n2Z jxnj sono in…nitesimi,
quindi limitati.
Date due serie temporali f(n) e g(n), de…niamo la loro convoluzione (una nuova serie
storica h(n))
h(n) = (f g)(n) = X
f (n k) g (k) :
La de…nzione ha senso quando la serie converge, cosa che accade ad esempio se f e g hanno
energia …nita. Infatti, per la disuguaglianza di Schwartz,
k2Z
n2Z
X
f (n k) g (k) X
jf (n k)j
k2Z
k2Z
= X
jf (j)j
j2Z
2 X
k2Z
3.5.2 Trasformata di Fourier a tempo discreto
2 X
k2Z
jg (k)j 2
jg (k)j 2 < 1:
Data una serie storica x = (xn) n2Z 2 l2, introduciamo la discrete time Fourier transform
(DTFT), che indicheremo con la notaione bx (!) o con F [x] (!), de…nita da
bx (!) = F [x] (!) = 1
p 2
X
e i!n xn; ! 2 [0; 2 ] :
n2Z
La convergenza della serie verrà discussa nel paragrafo successivo. C’è purtroppo una sovrapposizione
di simboli. Usualmente nel calcolo delle probabilità ! è riservato per l’elemento
dello spazio , l’evento casuale elementare. Qui storicamente invece ! 2 [0; 2 ] indica una
frequenza (angolare). Siccome non si scrive praticamente mai esplicitamente il simbolo ! 2
(questa variabile c’è sempre ma è sottaciuta), nel seguito di questa sezione ! sarà sempre la