Dispense

1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 61
Esempio 43 La funzione generatrice una Bernoulli X B (1; p) è
' X (t) = pe t + q:
Esempio 44 Sia X B (n; p) una binomiale, della forma X = X1 + ::: + Xn con X1; :::; Xn
Bernoulli B (1; p) indipendenti. Allora, per la proposizione applicata iterativamente,
' X (t) = pe t + q n :
Siccome la generatrice dipende solo dalla legge, il risultato vale anche se la binomiale, a
priori, non è espressa in tale forma.
Esempio 45 La funzione generatrice di una v.a. X di Poisson, X P ( ), è
Si può calcolare dalla de…nizione:
1X
'X (t) = e tn e
n=0
' X (t) = e (et 1) :
n
n!
= e
1X
n=0
et n
n!
et
= e e :
Esercizio 3 Veri…care che il limite delle generatrici di binomiali Xn B n; n è uguale
alla generatrice di una X P ( ).
Esempio 46 Se X è una v.a. esponenziale, X Exp ( ), allora
' X (t) =
Z 1
1
e tx f (x) dx =
Z 1
0
e tx e
x dx =
Z 1
e
0
(t )x dx
dove, osserviamo …n da ora, questo integrale converge (ha valore …nito) se e solo se t < 0,
cioè se
t < :
Per questi valori di t troviamo
' X (t) =
"
e
t
# 1
(t )x
In questo esempio la funzione generatrice non è de…nita per tutti i valori di t.
Esempio 47 Una v.a. X N (0; 1) ha funzione generatrice
Infatti
E e tX = 1
p 2
= e t2
2
p 2
Z
Z
0
' X (t) = e t2 =2 :
e tx e x2 =2 dx = 1
p2
e
(x t)2
2 dx = e t2
2 :
=
Z
t :
e t2
2 e (x 2 2tx+t 2 )
2 dx