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172 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI di numeri reali o complessi x = (xn) n2Z . Scriveremo anche x (n) al posto di xn quando sarà conveniente. Il tempo sarà sempre bilaterale. Conviene introdurre lo spazio vettoriale l2 di tutte le serie temporali x = (xn) n2Z tali che X jxnj 2 < 1: n2Z Il numero P n2Z jxnj 2 viene a volte interpretato come una forma di energia. Le serie temporali che appartengono a l2 sono dette serie a energia …nita. Un altro spazio importante è l1 delle serie temporali tali che X jxnj < 1: n2Z Si noti che quest’ipotesi implica energia …nita in quanto X jxnj 2 sup jxnj n2Z X jxnj n2Z e supn2Z jxnj è limitato perché i termini della serie convergente P n2Z jxnj sono in…nitesimi, quindi limitati. Date due serie temporali f(n) e g(n), de…niamo la loro convoluzione (una nuova serie storica h(n)) h(n) = (f g)(n) = X f (n k) g (k) : La de…nzione ha senso quando la serie converge, cosa che accade ad esempio se f e g hanno energia …nita. Infatti, per la disuguaglianza di Schwartz, k2Z n2Z X f (n k) g (k) X jf (n k)j k2Z k2Z = X jf (j)j j2Z 2 X k2Z 3.5.2 Trasformata di Fourier a tempo discreto 2 X k2Z jg (k)j 2 jg (k)j 2 < 1: Data una serie storica x = (xn) n2Z 2 l2, introduciamo la discrete time Fourier transform (DTFT), che indicheremo con la notaione bx (!) o con F [x] (!), de…nita da bx (!) = F [x] (!) = 1 p 2 X e i!n xn; ! 2 [0; 2 ] : n2Z La convergenza della serie verrà discussa nel paragrafo successivo. C’è purtroppo una sovrapposizione di simboli. Usualmente nel calcolo delle probabilità ! è riservato per l’elemento dello spazio , l’evento casuale elementare. Qui storicamente invece ! 2 [0; 2 ] indica una frequenza (angolare). Siccome non si scrive praticamente mai esplicitamente il simbolo ! 2 (questa variabile c’è sempre ma è sottaciuta), nel seguito di questa sezione ! sarà sempre la
3.5. ANALISI DI FOURIER DEI PROCESSI STOCASTICI 173 frequenza ! 2 [0; 2 ], salvo venga detto il contrario esplicitamente. Anche il simbolo b è stato usato in precedenza con altro signi…cato, quello di stima empirica di un parametro statistico; di nuovo, in questa sezione, esso indicherà la trasformata di Fourier. La successione xn può essere ricostruita dalla sua DTFT per mezzo della trasformata di Fourier inversa Infatti 1 p 2 Z 2 0 e i!n bx (!) d! = 1 2 = X xn = 1 p 2 k2Z Z 2 0 e Z 2 0 i!n X k2Z xk2 (n k)=xn e i!n bx (!) d!: xke i!k d! = 1 2 X Z 2 xk e k2Z 0 i!(n k) d! Un passaggio richiede un teorema limite opportuno per poter scambiare serie e integrale. Osservazione 54 Le serie temporali (tempo discreto) possono derivare da operazioni di campionamento discreto di segnali …sici a tempo continuo. Se l’incremento temporale tra due campioni consecutivi è 1, allora si usa i!n all’esponente delle trasformate. Invece, se l’incremento temporale tra due campioni consecutivi è è chimata frequenza di campionamento. t, conviene usare i!n t. La quantità 1 t Osservazione 55 La funzione bx (!) si può considerare de…nita per ogni ! 2 R, ma è 2 - -periodica). ! è detta frequenza angolare. periodica (o 2 t Osservazione 56 A volte (in particolare in …sica), la DTFT è de…nita senza il segno all’esponente; in tal caso il segno dev’essere presente nella trasformata inversa.. Osservazione 57 A volte si omette il fattore 1 p2 nella de…nizione; noi lo abbiamo incluso per simmetria con la trasformata inversa o per semplicità della formula di Plancherel (senza appare in esse). p1 , il fattore 2 1 2 Osservazione 58 A volte si usa la seguente variante della DTFT: dove f = ! 2 . bx (f) = 1 p 2 X n2Z e 2 ifn xn; f 2 [0; 1] : Dovendo comunque fare una scelta tra tutte queste varianti, usiamo l de…nizione di DTFT scritta all’inizio, mettendo in guardia il lettore che il confronto con altri testi va fatto modulo determinate modi…che. Introduciamo in…ne il concetto di troncamento di una serie storica x = (xn) n2Z . Fissata una …nestra di ampiezza 2N, contenente i 2N +1 punti da N a N inclusi, usando la funzione indicatrice ( 1 se N n N 1 [ N;N](n) = 0 altrimenti
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Elementi di Probabilità, Statistic
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