Dispense

4 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
che lo strumento di misura abbia una sua incertezza intrinseca. Un modo per tenerne conto
può essere il seguente: invece che sperare di ottenere un ben preciso valore x come risultato
dell’esperimento, immaginiamo che il risultato consista in un intervallo, preso in una
famiglia pre…ssata di intervalli possibili ( 1; x1], (x1; x2], ... , (xn 1; xn], (xn; 1). Ad esempio,
immaginiamo a priori di non poterci …dare della misura dello strumento oltre la prima
cifra decimale, e che i valori inferiori a -10 o superiori a 10 non siano distinguibili. Allora il
risultato dell’esperimento può essere solo uno dei seguenti intervalli: ( 1; 10], ( 10; 9:9],
( 9:9; 9:8], ... , (9:8; 9:9], (9:9; 10]. (Esempio: quando si usano le tavole gaussiane dei quantili,
ci si deve accontentare dei numeri riportati sulle tavole, che non sono tutti i numeri reali,
e ci si deve accontatare della precisione del risultato espressa con un numero …nito e basso di
cifre, secondo la disponibilità di quelle tavole.)
Questa famiglia di intervalli descrive il nostro grado di infomazione (o se si vuole il grado
di informazione raggiungibile con l’esperimento).
Se in un momento successivo si riesce a migliorare lo strumento di misura in modo
da poterci …dare di due cifre decimali e magari di allargare lo spettro dei valori da -20
a 20, la famiglia che descrive la nostra informazione diventa ( 1; 20], ( 20; 19:99],
( 19:99; 19:98], ... , (19:98; 19:99], (19:99; 20].
In questo esempio l’insieme universo naturale da introdurre è l’insieme R dei numeri
reali, ma gli unici sottoinsiemi che ci interessano per la descrizione dell’esperimento sono
gli intervalli scritti sopra. Oppure possiamo adottare un’altro punto di vista: in teoria ci
interesserebbero tutti i sottoinsiemi, in particolare quelli composti dai singoli numeri reali
(che darebbero il risultato con precisione in…nita), ma in pratica evidenziamo che il grado di
informazione contenuto nel nostro esperimento è descritto dalla famiglia più ristretta degli
intervalli detti sopra.
Vediamo un’altro esempio.
Esempio 1 In un capitolo successivo studieremo i processi stocastici. Per lo scopo di questo
esampio, basti pensare intuitivamente che un processo stocastico è la descrizione matematica
di una grandezza (…sica, economica ecc.) che varia nel tempo ed è aleatoria. Indichiamo
con Xt questa grandezza al tempo t. Supponiamo di studiare il fenomeno per tutti i tempi
t 0. Prendiamo come l’insieme di tutte le “storie” possibili di questa grandezza, tutte le
funzioni t 7! xt che possono realizzarsi. Gli eventi sono sottoinsiemi di , cioè famiglie di
tali “storie”, “realizzazioni”. Un esempio è l’evento A =“al tempo t = t1 il valore di Xt è
positivo”, evento che possiamo riassumere con la scrittura
A = fXt1 > 0g :
Un altro è B = fXt2 2 Ig con I un certo intervallo. Intersecando eventi di questo tipo
troviamo eventi della forma
fXt1 2 I1; :::; Xtn 2 Ing
cioè eventi che a¤ermano che Xt, in certi istanti assume certi possibili valori. Fatte queste
premesse, …ssiamo un tempo T > 0 e consideriamo la famiglia F 0 T di tutti gli eventi del tipo
fXt1 2 I1; :::; Xtn 2 Ing con
0 t1 ::: tn T: