Dispense

68 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
1.3.2 Sul teorema degli eventi rari per v.a. di Poisson
Ricordiamo che le probabilità delle binomiali B(n; pn) tendono a quelle della Poisson P( ) se
n ! 1 e n pn = (o anche solo se n pn ! , come si dimostra con piccole complicazioni
in più).
Questo teorema porta il nome di teorema degli eventi rari, per il motivo seguente. Si
deve immaginare una sequenza molto lunga di esperimenti, ciascuno avente due esiti possibili
che denominiamo “successo”o “insuccesso”e codi…chiamo coi numeri 1 e 0 rispettivamente.
Chiamiamo p la probabilità di successo. Il numero di successi è una v.a. binomiale. Se p è
molto piccolo, i successi sono rari. Questo però è compensato dal fatto che il numero di prove
n tende all’in…nito. Il teorema dice che si può usare la distribuzione di Poisson al posto della
binomiale.
Naturalmente nelle applicazioni pratiche non c’è nessun limite n ! 0, p ! 0. Ci chiediamo
allora quando, per n grande ma …ssato e p piccolo ma …ssato, l’approssimazione di una
binomiale con una Poisson fornisca risultati soddisfacenti. Il criterio, se pur vago, è che
= np sia un numero moderato e simultaneamente n sia grande e p piccolo. Nell’esempio
della banca, n = 1000 è sicuramente grande, p = 1
5 non è molto piccolo ma potrebbe sembrarlo
abbastanza, ma = np = 200 è sicuramente troppo grande. Ad esempio,
1
X248
k=0
1000
k
1
1
5
k
X248
e
k=0
4
5
1000 k
= 9: 296 5 10 5
200 200k
k! = 4: 588 8 10 4 :
Si osservi però che l’errore, per quanto grosso, è solo alla quarta cifra decimale, quindi è
comunque contenuto. Se però e¤ettuiamo un esperimento numerico con un più moderato,
es.
n = 100; p = 1
troviamo ad esempio
;
50
= 2
1
8X
k=0
100
k
1
50
1
k
49
50
8X
e
k=0
100 k
2 2k
k!
= 1: 893 4 10 4
= 2: 374 5 10 4
cioè i due numeri coincidono quasi anche alla quarta cifra decimale.
1.3.3 Identi…cazione di un modello di Poisson piuttosto che di uno binomiale
Visto che grandezze aleatorie quali “il numero di persone che chiedono un certo servizio”
possono essere descritte abbastanza realisticamente sia da v.a. binomiali sia di Poisson,
quali conviene usare? Il modello di Poisson risulta vincente. Oltre ad essere più semplice