Dispense

54 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Si noti che, per la disuguaglianza di Hölder,
jCov (X; Y )j
r h
E (X X) 2i
h
E (Y Y ) 2i
e quindi j (X; Y )j 1. Questo dimostra la prima delle seguenti proprietà, che tutte insieme
chiariscono l’aspetto di universalità, o invarianza per cambio di unità di misura, di , a
di¤erenza della covarianza.
Proposizione 3 Vale
Vale inoltre
per ogni a; b 2 R, e
per ogni a; b > 0.
1 (X; Y ) 1:
Cov (aX; bY ) = abCov (X; Y )
(aX; bY ) = (X; Y )
Proof. Abbiamo già visto come mai 1 (X; Y ) 1. Dimostriamo la seconda proprietà.
Vale
Vale poi
Cov (aX; bY ) = E [(aX aX) (bY bY )] = E [(aX a X) (bY b Y )]
(aX; bY ) =
= abE [(X X) (Y Y )] = abCov (X; Y ) :
Cov (aX; bY )
p V ar [aX] V ar [bY ] =
abCov (X; Y )
p
a2b2 p ab
=
V ar [X] V ar [Y ] jabj
(X; Y )
e quindi la formula desiderata, se a; b > 0.
Nello stesso modo si dimostra la seguente proprietà, che in un certo senso è la linearità
della convarianza nei suoi argomenti. Si noti che le costanti additive spariscono, come per la
varianza.
Proposizione 4
Cov (aX + bY + c; Z) = aCov (X; Z) + bCov (Y; Z)
Cov (X; Y + Z + ) = Cov (X; Y ) + Cov (X; Z) :
Proof. Basta dimostrare la prima in quanto la covarianza è simmetrica. Vale
Cov (aX + bY + c; Z) = E aX + bY + c aX+bY +c (Z Z)
= E [(a (X X) + b (Y Y )) (Z Z)]
= aCov (X; Z) + bCov (Y; Z) :
Ricordiamo che se X ed Y sono v.a. indipendenti, allora E [XY ] = X Y (mentre il
viceversa non è vero in generale). Ne discende subito il seguente risultato.