Dispense

3.5. ANALISI DI FOURIER DEI PROCESSI STOCASTICI 171
In altre parole, assumiamo che
lim
j!1 Cov (X0Xk; XjXj+k) = 0:
P n
i=1 XiXi+k converge a R (k) per n ! 1
Allora la funzione di autocorrelazione empirica 1
n
in media quadratica ed in probabilità. Precisamente, per ogni k 2 N, abbiamo
lim
n!1 E
2
4 1
nX
2
XiXi+k R (k)
n
3
5 = 0
i=1
ed analogamente per la convergenza in probabilità.
Proof. Dato k 2 N, si consideri il nuovo processo Yn = XnXn+k. La sua funzione valor medio
è costante in n per la stazionarietà di (Xn). Per la funzione di autocorrelazione abbiamo
RY (n; n + j) = E [YnYn+j] = E [XnXn+kXn+jXn+j+k]
che è indipendente da n per ipotesi. Inoltre, CY (j) converge a zero. Quindi è su¢ ciente
applicare il teorema ergodico, osservando che E [Y0] = R (k). La dimostrazione è completa.
Con dimostrazioni simili si possono ottenere vari risultati di questo tipo per altre grandezze
di interesse pratico.
Circa le ipotesi aggiuntive delle proposizioni precedenti ed altre simili, vale:
Proposizione 22 Se il processo (Xn) n 0 è stazionario in senso stretto, allora E X 2 nX 2 n+k
e E [XnXn+kXn+jXn+j+k] sono indipendenti da n.
La dimostrazione è ovvia. Questo aggiunge importanza al concetto di stazionarietà in
senso stretto ed alla gaussianità dei processi (per i quali le due nozioni di stazionarietà sono
equivalenti).
Osservazione 53 Non c’è modo di veri…care le ipotesi di ergodicità (scorrelazione asintotica,
nei nostri enunciati) negli esempi pratici, cioè su una serie storica. Ha senso chiedersi se un
processo sia ergodico, non una serie storica. Quindi, quando applichiamo i criteri esposti in
questo paragrafo a serie storiche, facciamo un atto di …ducia. Se pensiamo che il processo
in esame perda memoria della sua situazione iniziale all’avanzare del tempo, questa …ducia
è ragionevole.
3.5 Analisi di Fourier dei processi stocastici
3.5.1 Premesse
In questa sezione conviene considerare anche processi stocastici a valori complessi, intendendo
con questo successioni (Xn) n2Z di v.a. Xn : ! C. Le realizzazioni xn = Xn(!), n 2 Z, ! 2
, verranno anche chiamate serie temporali, nome che daremo anche a generiche successioni