Dispense

1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 29
quindi i numeri della de…nizione di v.a. binomiale sono e¤ettivamente una densità discreta
di probabilità. Nella …gura si vede una B (10; 0:2); i valori numerici, per k = 0; 1; :::; 10, sono
0:107, 0:268, 0:301, 0:201, 0:088, 0:026, 0:005, 7: 8 10 4 , 7: 3 10 5 , 4: 0 10 6 , 1:0 10 7
(si noti la piccolezza degli ultimi). Non riportiamo il gra…co di una B (10; 0:5), che, come si
può immaginare, è simmetrico. In…ne, il gra…co di una B (10; 0:8) è come quello della …gura
ma ri‡esso rispetto al punto centrale.
hist(rbinom(10000,10,0.2)+0.01,11)
Densità di massa di una B (10; 0:2)
Osservazione 13 Osserviamo che per n = 1 le v.a. binomiali sono v.a. di Bernoulli. Quindi
possiamo indicare le Bernoulli scrivendo X B (1; p). Vedremo più avanti, nel Teorema 5,
che la somma di n v.a. di Bernoulli B (1; p) indipendenti è una B (n; p).
Esempio 22 Una v.a. di Poisson di parametro , con > 0, è una v.a. X che assume tutti
i valori interi non negativi con probabilità data dalla formula
P (X = k) = e
per ogni k 2 N. Scriveremo X P ( ). La proprietà di somma uno deriva dallo sviluppo in
serie dell’esponenziale:
1X k
e =
k! :
k=0
Il seguente teorema stabilisce un legame fondamentale tra v.a. binomiali e di Poisson. Rimandiamo
un po’ più avanti la sua interpretazione, che svolgeremo congiutamente a vari
discorsi interpretativi.
Teorema 4 (degli eventi rari) Dato
per ogni k 2 N vale
> 0, posto pn = n (che di solito si scrive pn = ),
lim
n!1
n
k pkn (1 pn) n k = e
k
k! :
k
k!