Dispense

208 CAPITOLO 4. ANALISI E PREVISIONE DI SERIE STORICHE
appare semplicemente come un trend lineare ma può apparire come una crescita del tipo p t
della deviazione standard, con i valori del processo che oscillano tra positivi e negativi.
A volte invce la non stazionarietà si manfesta più semplicemente con un trend. Il caso
pù semplice da capire è il caso con media non nulla (4.4). Se d = 1, Xt ha un trend lineare;
se d = 2, ha un trend quadratico, e così via. Infatti, supponiamo che Yt sia stazionario e a
media > 0 (il caso < 0 è identico) Allora (per d = 1)
Xt = Yt + ::: + Y1 + X0 = t + Zt
Zt := e Yt + ::: + e Y1 + X0
dove le v.a. e Yt = Yt hanno media nulla. Il processo Zt può crescere (in modulo) ma
non abbastanza da contrastare la crescita lineare del termine t. Si può infatti dimostrare
(si deve usare il teorema ergodico del capitolo sui processi, veri…cando che le ipotesi per gli
ARMA sono vere) che
eYt + ::: + e Y1
t
t!1
! E [Y1] = 0
cioè Zt ha crescita sub-lineare. Si può anche intuire come vanno le cose pensando al caso
(molto particolare) in cui le v.a. e Yt sono indipendenti. Vale
h
V ar eYt + ::: + e i h i
Y1 = t V ar eY1
quindi la deviazione standard di e Yt +:::+ e Y1 cresce come p t, da cui si intuisce che e Yt +:::+ e Y1
non può crescere linearmente. Per d > 1 valgono ragionamenti simili.
4.2.8 Stazionarietà, legame tra modelli ARMA e modelli MA di ordine
in…nito, ipotesi generali della teoria
Abbiamo già detto che, sotto opportune condizioni, esistono soluzioni stazionarie dei modelli
AR, MA ed in generale ARMA, chiamate processi AR, MA o ARMA seconda dei casi. Nel
caso più sempice degli AR(1) abbiamo trovato che la condizione è j j < 1.
Aggiungiamo alcune precisazioni. La parte MA di un modello non pone restrizioni alla
possibilità di avere soluzioni stazionarie. Limitatamente ai modelli MA, un modo di costruire
soluzioni stazionarie è quello di far partire l’iterazione da un tempo negativo molto grande,
N, con valori iniziali nulli. Ciò che si osserva per tempi positivi è approssimativamente
stazionario, e migliora al tende di N ! 1.
La parte AR invece pone restrizioni. Bisogna assumere che le radici complesse z del
polinomio
pX
p (z) = 1
siano tutte fuori dalla palla unitaria chiusa del piano complesso, cioè soddis…no tutte la
condizione
jzj > 1: (4.5)
k=1
kz k