Dispense

1.1. EVENTI E LORO PROBABILITÀ 15
proprietà. In molti casi questo tipo di ragionamento funziona e produce nozioni utilissime
di probabilità condizionata in un senso generalizzato. Per ora non approfondiamo questo
argomento.
Ricordiamo che P era, rigorosamente parlando, una funzione. Analogamente è molto utile
pensare a P (:jB) come ad una funzione, per B …ssato: funzione dell’evento A che mettiamo
nell’espressione P (AjB). Si dimostra che la funzione P (:jB) (con B …ssato) è una probabilità,
-additiva.
1.1.11 Indipendenza
Prima di conoscere un certo B, un evento A ha probabilità P (A). Dopo, ha probabilità
P (AjB).
Quando questi due valori sono uguali, ovvero
P (AjB) = P (A)
siamo portati a dire che B non in‡uenza A. Un esempio semplice da capire è quello del lancio
di due dadi: se B è l’evento “nel primo lancio esce 6”e A è l’evento “nel secondo lancio esce
6”, è chiaro intuitivamente che B non può in‡uenzare A in alcun modo.
Osservazione 5 Un’osservazione semi-seria. Una credenza ingenua è che se in un lancio
esce 6, nel successivo sia più di¢ cile che esca di nuovo 6. Più formalmente, concordando
che a priori la probabilità che al secondo lancio esca 6 è 1/6, alcuni pensano che, una volta
noto che al primo lancio è uscito 6, la probabilità che esca 6 al secondo lancio è minore di
1/6. Questo è completamente assurdo se si pensa alla …sica del lancio del dado. Casomai,
si potrebbe dubitare che valga proprio il contrario: se il dado non è perfetto, il fatto che
sia uscito 6 al primo lancio potrebbe essere un indizio che il dado è sbilanciato a favore di
certe facce, inclusa la faccia 6; ma allora al secondo lancio la probabilità che esca 6 è un po’
maggiore di 1/6!
La condizione P (AjB) = P (A) sembra asimmetrica, mentre non lo è. Siccome (usando
la simmetria di A \ B)
P (BjA) =
P (B \ A)
P (A)
= P (A \ B)
P (A)
P (AjB) P (B)
= ;
P (A)
da P (AjB) = P (A) si ricava P (BjA) = P (B), ovvero che A non in‡uisce su B. Quindi si
può parlare di indipendenza tra A e B, simmetricamente. Per dare una veste simmetrica
anche alla formulazione matematica, basta osservare che l’uguaglianza
P (A \ B) = P (A)P (B)
è equivalente alle precedenti (per esercizio). Oltre ad essere simmetrica ha il pregio di non
obbligare alle speci…che del tipo P (A) > 0 o P (B) > 0 insite nella de…nizione di probabilità
condizionale. Arriviamo quindi alla seguente de…nizione, nel caso di due eventi, che
generalizziamo al caso di n eventi.