Dispense

1.3. ESEMPI 71
derivate da altre, almeno per questa volta veri…chiamo rigorosamente che sono indipendenti).
Vale
Quindi
P (T1 = k; T2 = h)
= P (X1 = 0; :::; Xk 1 = 0; Xk = 1; Xk+1 = 0; :::; Xk+h 1 = 0; Xk+h = 1)
= q k 1 pq h 1 p = P (T1 = k) q h 1 p:
P (T2 = h) =
1X
P (T1 = k; T2 = h)
k=1
= q h 1 p
1X
k=1
P (T1 = k) = q h 1 p:
Questo dimostra che T2 è geometrica modi…cata di parametro p; inoltre, messa nell’uguaglianza
precedente fornisce
P (T1 = k; T2 = h) = P (T1 = k) P (T2 = h)
per ogni k; h, quindi T1 e T2 sono indipendenti. La dimostrazione per T3 ecc. è solo più lunga
e la omettiamo.
Tra le conseguenze c’è il fatto (intuitivamente plausibile) che il tempo medio tra un giorno
di pioggia ed un altro è
E [T ] = 1
p :
1.3.5 Tempo del k-esimo evento: binomiale negativa
In…ne, consideriamo il tempo del k-esimo giorno di pioggia:
k = T1 + ::: + Tk:
Essa è una v.a. che assume i valori k; k + 1; :::. Calcoliamone la massa di probabilità
P ( k = k + h). L’evento k = k + h accade quando Xk+h = 1, e tra le precedenti v.a.
k+h 1
X1; :::; Xk+h 1 ce ne sono esattamente k 1 pari ad uno. Ci sono k 1 modi di scegliere i
tempi in cui questo accade; per ciascuna scelta, la probabilità di avere esattamente k 1 uni
in quelle posizioni scelte più Xk+h = 1 è pkqh . Quindi
P ( k = k + h) =
k + h 1
k 1
p k q h :
Questa è chiamata distribuzione binomiale negativa di parametri k e p. La binomiale negativa
di parametri k e p è la distribuzione della somma di k v.a. geometriche di parametro q.
La formula precedente si può anche scrivere nella forma
P ( k = j) =
j 1
k 1 pj h q h