Dispense

1.5. APPROFONDIMENTI SUI VETTORI ALEATORI 111
Posto a 0 = 1
2 log ap (2 ) n det(Q) , l’equazione diventa
(x ) T Q 1 (x ) = a 0 :
Questa è l’equazione di un’ellisse di centro . Infatti, usando la solita scomposizione Q =
UQeU T dove Qe è la matrice diagonale
Qe =
1
0
0 2
e posto ex = x (traslazione che porta in 0), l’equazione diventa
ex T U T 1 Q 1
e U 1 ex = a 0
e poi, posto y = U 1 ex (una rotazione) troviamo
che in coordinate si legge
y T Q 1
e y = a 0
y2 1
+
1
y2 2
2
ovvero un’ellisse. Le lunghezze lungo gli assi (precisamente le lunghezze dei segmenti che
uniscono l’origine ai vertici dell’ellisse) sono pari a p 1 e p 2. L’orientazione degli assi è
quella degli autovettori di Q, come si può veri…care ragionando più da vicino sul signi…cato
della trasformazione U. In conclusione:
Proposizione 14 Le curve di livello di un vettore gaussiano N ( ; Q) in due dimensioni
sono ellissi di centro ed assi dati dagli autovettori di Q, con lunghezze degli assi pari alle
radici degli autovalori p 1 e p 2.
Il seguente disegno ra¢ gura il caso y2 1
4 + y2 2
base di autovettori di Q.
e2
2
­3 ­2 ­1 1 2 3
­2
e1
= a 0
1 = 1. Questa è l’ellisse rispetto agli assi e1, e2,
Se invece vogliamo vedere l’ellisse nella base canonica originaria, quella delle variabili xi,
bisogna eseguire la rotazione U e la traslazione di . Non c’è bisogno di sapere con esattezza
di che rotazione si tratta, basta sapere come appaiono i vettori e1, e2 nella base canonica
(cioè avere le loro coordinate), e tracciare l’ellisse con tali assi.
I risultati ora esposti si generalizzano a più di due dimensioni, usando la nozione di
ellissoide.