Dispense

178 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI
delta Dirac (da non confondersi con la semplice delta Dirac (n) nel discreto, che abbiamo
usato in precedenza). Essa è caratterizzata dalla proprietà
Z 1
1
(t) f (t) dt = f (0) (3.6)
per ogni funzione continua f. Nessuna funzione nel senso usuale del termine ha questa
proprietà. Un modo per farsi un’idea intuitiva è il seguente. Consideriamo una funzione, che
1 1
1
indichiamo con n (t), uguale a zero per t fuori da 2n ; 2n , intervallo di ampiezza n intorno
1 1
all’origine; ed uguale a n in 2n ; 2n . Abbiamo
Z 1
Ora,
Z 1
1
1
n (t) dt = 1:
Z 1
n (t) f (t) dt = n
2n
1
2n
f (t) dt
che è la media integrale di f attorno a 0. Per n ! 1, questa media converge a f (0) se f è
continua. In altre parole, vale
Z 1
lim n (t) f (t) dt = f (0)
n!1
1
che può essere presa come una sorta di de…nizione rigorosa dell’identità (3.6), espressa mediante
concetti tradizionali. E’ inoltre analoga al concetto di limite descritto all’inizio del
paragrafo. In un certo senso, quindi, la funzione generalizzata (t) è il limite delle funzioni
tradizionali n (t), ma usando un concetto di limite nuovo. Se si usassero le nozioni usuali
di limite vedremmo che n (t) converge a zero per ogni t 6= 0, e a +1 per t = 0. In questo
senso molto vago, (t) è zero per t 6= 0, +1 per t = 0; ma questa è un’informazione povera,
perché non permette di dedurre l’identità (3.6).
Lemma 6 Vale
nel senso che
per ogni funzione continua f.
Z 2
lim
N!1 0
1
lim
N!1 2
1
2
X
jnj N
X
jnj N
Da questo lemma discende che
lim
N!1
X
e i!n a sin (!1n) =
i
In altre parole:
jnj N
e itn = (t)
e itn f (t) dt = f (0)
(! !1)
i
(! + !1) :