Dispense

1.1. EVENTI E LORO PROBABILITÀ 21
de…niti per n 1; k = 0; :::n. Vale n
k
= n
n k
, n
0
= n
n
= 1, n
1
= n e così via. Non è
ovvio che n
k sia un intero; un modo di scoprirlo è attraverso un teorema che vedremo proa
poco.
Alla base di molti fatti c’è il cosidetto principio di enumerazione. Esso asserisce che se si
svolgono due esperimenti successivi, il primo con n possibili risultati diversi ed il secondo con
m possibili risultati diversi, allora le coppie di risultati possibili sono m n. E’davvero un
principio ovvio, ma permette di risolvere un grandissimo numero di problemi. Naturalmente
si sottointende che vale anche per una sequenza formata da più di due esperimenti; ad esempio
per tre esperimenti, se nel primo ci sono n1 risultati possibili, nel secondo n2 e nel terzo n3, il
numero totale di risultati possibili della terna di esperimenti è n1n2n3. Vediamolo all’opera.
Principio di enumerazione
Esempio 10 Quante sono le stringhe di n simboli, (x1; :::; xn), in cui ciascun simbolo xi può
assumere k possibili valori diversi? Il risultato è
k n :
Infatti, usiamo il principio di enumerazione immaginando che la scelta del primo simbolo sia
il primo esperimento, la scelta del secondo simbolo il secondo esperimento e così via. Nel
primo esperimento ci sono k risultati possibili, nel secondo pure, e così via, per cui il numero
di risultati possibili della sequenza di esperimenti è il prodotto k k k = k n .
Esempio 11 Sia l’insieme di tutte le applicazioni f : f1; :::; ng ! f1; :::; kg. Allora
j j = k n :
Basta riconoscere che è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle stringhe descritto
nell’esempio precedente. Infatti, assegnare una funzione f : f1; :::; ng ! f1; :::; kg equivale
a dire, per ciascun eleemento del dominio (vedi ciascun simbolo xi dell’esempio precedente),
quale valore tra 1 e k esso assume.
Esempio 12 Dato un insieme …nito 0 con n elementi, detto = P ( 0) l’insieme delle
parti di 0, vale
jP ( 0)j = 2 n :