Dispense

3.1. PROCESSI A TEMPO DISCRETO 147
Da queste ipotesi discende che
ovvero
da cui
V ar [X12+t] = V ar [Xt] + 1
100 V ar [Xt] = 101
V ar [Xt]
100
t+12 =
r 101
100 t = 1: 005 t
Cov (Xt+12; Xt) = Cov (Xt; Xt) + Cov ("t; Xt) = Cov (Xt; Xt) = 2 t
C (t + 12; t)
(t + 12; t) =
t+12 t
= 1
1: 005
2
t
t t
= 0:995:
Anche un trend è una forma di ripetizione temporale. Qui però la teoria si fa più di¢ cile ed
è meglio capirla più avanti. Anticipando un po’le cose, bisogna far distinzione tra processi
stocastici e serie storiche (che tratteremo nel prossimo capitolo). Una serie storica è una
sequenza di numeri, non di variabili aleatorie. Può però essere una realizzazione sperimentale
di un processo (così come un singolo numero può essere il risultato sperimentale associato ad
una v.a.). Allora si tende a confondere i due concetti, processo stocastico e serie storica. Il
teorema ergodico che vedremo tra poco rende ancor più stretto questo legame. Tuttavia, i
due concetti sono diversi. Ora, tornando al trend, un conto è un processo con trend, un altro
una serie storica con trend. Le due cose hanno ri‡essi diversi sull’autocorrelazione. Mentre
per le serie storiche vedremo che l’autocorrelazione di una serie con trend ha valori tutti
abbastanza alti (da ciò si può ad esempio dedurre che c’è un trend se non fosse visibile ad
occhio), per un processo stocastico con trend la funzione (t; s) potrebbe non manifestare
nulla di sigi…cativo. Questa di¤erenza nell’autocorrelazione di processi e serie con trend non
contraddice il teorema ergodico (quello che rigorosamente lega i due concetti) perché esso vale
sotto ipotesi di stazionarietà del processo, ipotesi che sono appunto violate quando c’è un
trend. In altre parole, quando c’è un trend, la teoria dei processi e quella delle serie storiche
presenta delle divergenze.
Esempio 70 Sia (Zn) n 0 una successione di v.a. indipedenti di media zero e varianza 1 e
sia (Xn) n 0 de…nito da
Xn = a n + b + " Zn:
Xn è un processo con trend, se " è piccolo rispetto ad a: il gra…co di una realizzazione di Xn
è la retta a n + b sporcata dalle piccole variazioni casuali " Zn. Vale
V ar [Xn] = V ar [" Zn] = " 2
ovvero t = ", e ricordando che nella covarianza le costanti additive si possono cancellare,
Cov (Xt; Xs) = Cov (at + b + "Zt; as + b + "Zs)
= Cov ("Zt; "Zs) = " 2 (t s)
dove il simbolo (t s) (delta di Dirac) vale 0 per t 6= s, 1 per t = s. Quindi
C (t; s)
(t; s) =
t s
= "2 (t s)
" 2 = (t s) :