Dispense

Capitolo 3
Processi Stocastici
3.1 Processi a tempo discreto
De…nizione 38 Chiamiamo processo stocastico a tempo discreto una successione
X0; X1; X2; :::; Xn; :::
di variabili aleatorie de…nte su uno stesso spazio probabilizzato ( ; F; P ), a valori in R.
Fissato ! 2 , la successione numerica
X0 (!) ; X1 (!) ; :::; Xn (!) ; :::
verrà detta realizzazione del processo stocastico.
Questa de…nizione non è rigida e può essere modi…cata rispetto ad alcuni dettagli: lo
stesso nome si usa per sequenze che partono dal tempo 1, ad esempio, X1; X2; :::; Xn; :::, o al
caso in cui le v.a. Xn prendono valori in spazi diversi da R, ad esempio ciascuna di esse è
un vettore aleatorio. Nel seguito considereremo anche il caso in cui l’insieme degli indici (il
“tempo”) è l’insieme dei numeri interi relativi (tempo che va da 1 a +1).
Gli oggetti principali associati ad una v.a. sono la sua legge (ad esempio la densità, se
c’è) ed i suoi momenti di ordine uno e due (ed a volte i superiori, o la funzione generatrice,
e la cdf). Si fa la stessa cosa per un processo (Xn) n 0 : la densità di probabilità della v.a.
Xn, quando esiste, verrà indicata con fn (x), la media con n, la deviazione standard con n.
Spesso scriveremo t al posto di n, pur essendo un intero. Quindi, i nostri primi concetti sono:
i) la funzione valor medio e la funzione varianza:
t = E [Xt] ;
2
t = V ar [Xt] ; t = 0; 1; 2; :::
Oltre a questo, della massima importanza è la correlazione temporale, come dipende o è
collegato il processo ad un certo istante ad un altro. Introduciamo tre funzioni:
ii) la funzione di autocovarianza C (t; s), t; s = 0; 1; 2; ::::
C (t; s) = Cov (Xt; Xs) = E [(Xt t) (Xs s)]
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