Dispense

1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 47
Esempio 35 Se X è geometrica, P (X = k) = p (1 p) k , k = 0; 1; :::, non è immediatamente
facile calcolare il valor medio P 1
k=0 kp (1 p)k . Bisogna conoscere la regola
1X
k=0
ka k 1 =
1
(1 a) 2
che vale per ogni a tale che jaj < 1. Usando questa formula vale
1X
kp (1 p) k = p (1
1X
p) k (1 p) k 1 p (1
=
(1 (1
p) 1 p
2 =
p)) p :
k=0
k=0
La furmula precedente si dimostra derivando la formula nota P1 k=0ak = 1
1 a . Queste due
funzioni della variabile a coincidono, quindi hanno uguale derivata. Per un teorema di analisi,
di può passare la derivata sotto il segno di serie (nelle ipotesi di questo esempio, cioè jaj < 1):
1X d
a
da
k 1X d
=
da ak 1X
= ka k 1 :
Siccome d
1
da 1 a
k=0
k=0
k=0
= 1
(1 a) 2 , si ottiene il risultato desiderato.
Esempio 36 Se X è una v.a. uniforme nell’intervallo [a; b] allora
E[X] =
a + b
2 :
La dimostrazione di questo fatto, intuitivamente abbastanza evidente, è lasciata per esercizio.
Esempio 37 Se X è una v.a. esponenziale di parametro , vale
Infatti
E[X] =
h
=
Z +1
1
xf(x)dx =
xe
x i +1
0
+
E[X] = 1 :
Z +1
x e
0
Z +1
0
e
x dx
x dx =
1 e
x
+1
0
= 1 :
Esempio 38 Se X N( ; 2 ), allora E[X] = . Per ricavare il risultato, si può calcolare
per esercizio l’integrale usando la densità della gaussiana, sfruttando la simmetria della
gaussiana rispetto al punto x = .
1.2.12 Proprietà meno elementari del valor medio
In questa sezione enunciamo alcune proprietà che richiedono un po’di lavoro per essere dimostrate
ed anche capite. Alcune di esse, pur essendo molto potenti e dal profondo signi…cato,
sono di uso corrente solo per chi vuole investigare gli aspetti teorici dell probabilità. Come
sopra, negli enunciati che seguono bisogna assumere che tutti i valori medi di cui si parla
esistano …niti.