Dispense

74 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
1.3.7 Proprietà delle gaussiane
Si dice che una classe di v.a. ha la proprietà di riproducibilità, o che le v.a. sono autoriproducenti,
se prese due v.a. X ed Y di quella classe, indipendenti, allora X + Y sta ancora
nella stessa classe.
Le v.a. gaussiane godono di questa proprietà. Anche altre classi hanno questa proprietà
(ad esempio le Poisson) ma le gaussiane la soddisfano in una forma ancora più forte, in cui
oltre che la somma si possono considerare anche le combinazioni lineari, anzi a¢ ni.
Teorema 16 Se X ed Y sono gaussiane indipendenti ed a; b; c sono numeri reali, allora
aX + bY + c è gaussiana. La sua media e la sua varianza sono date da
aX+bY +c = a X + b Y + c
2
aX+bY +c = a2 2 X + b 2 2 Y :
Proof. Le funzioni generatrici di X ed Y sono
e quindi, per l’Esercizio 2,
'X (t) = e Xt+ t2 2 X
2 , 'Y (t) = e Y t+ t2 2 Y
2
' aX+bY +c (t) = ' X (at) ' Y (bt) e ct = e Xt+ t2 2 X
2 e Y t+ t2 2 Y
2 e ct
= e ( X + Y +c)t+ t2 ( 2 X + 2 Y )
2
che è la generatrice di una gaussiana, quindi aX + bY + c è gaussiana. Le formule per la
sua media e varianza si leggono anche da qui, oppure si ottengono con facili calcoli sui valori
medi.
Osservazione 32 Le formule per media e varianza di aX + bY + c valgono anche senza
l’ipotesi di gaussinità e si dimostrano facilmente usando le proprietà dei valori medi. Quindi
l’a¤ermazione non ovvia del teorema è la gaussianità di aX + bY + c.
Esercizio 4 Dimostrare che le binomiali di parametro p …ssato (mentre la numerosità n
è libera) sono autoriproducenti. Si osservi che lo si può anche capire ad esempio facendo
riferimento al teorema che le lega alle Bernoulli.
Esercizio 5 Dimostrare che le Poisson sono autoriproducenti, e precisamente la somma di
una P ( ) ed una P 0
indipendenti è una P + 0 .
Tra le conseguenze semplici del teorema c’è che se X è gaussiana ed a; b sono numeri reali,
allora aX + b è gaussiana.