Dispense

334 CAPITOLO 6. STATISTICA MULTIVARIATA
caso non ci sarebbe nulla di nuovo rispetto al paragrafo precedente, le cui considerazioni
andrebbero applicate separatamente a ciascuna Yi. Il discorso si generalizza senza problemi
al caso di più input e più output.
Completamente diverso invece è il caso in cui le due grandezze Y1; Y2 sono misurabili,
disponiamo di loro dati sperimentali, mentre X non è misurabile, anzi forse non è nemmeno
completamente ben de…nita. Immaginiamo ad esempio, sempre con riferimento all’esempio
della Sezione 6.2, di sospettare che ci sia un fattore X che in‡uenza Y1 =SA.SC e Y2 =SC.
Abbiamo le misurazionii delle grandezze Y1 e Y2 ma non di X, di cui anzi non ci è chiaro
nemmeno il signi…cato. la domanda è: c’è un fattore, che ancora dobbiamo scoprire, mettere
allo scoperto, che in‡uenza entrambe SA.SC e SC? Un fattore nascosto? Che spiega (si suol
dire) la variabilità di SA.SC e SC? Cosa c’è dietro il fatto che certe regioni hanno una minore
spesa complessiva familiare ed una maggior proporzione di spesa per alimentari, rispetto ad
altre regioni in cui queste grandezze sono invertite?
A modo suo, il metodo PCA serve anche a questo scopo: esso ha individuato una nuova
grandezza aleatoria, Comp1, a cui abbiamo attribuito un signi…cato del tipo “benessere economico”,
legata ad entrambe SC e SA.SC. Discuteremo sotto il metodo dell’analisi fattoriale,
alternativo a PCA, tornando però anche su PCA in relazione al problema ora posto.
6.3.2 Regressione lineare semplice
Iniziamo lo studio della regressione col caso della regressione lineare semplice, cioè con un
solo fattore, probabilmente già nota dai corsi di statistica elementare. Premettiamo un breve
riassunto su covarianza e correlazione, già esposte altrove, ma che può essere utile.
Covarianza e coe¢ ciente di correlazione
Date due v.a. X ed Y , chiamiamo covarianza il numero
Cov (X; Y ) = E [(X E [X]) (Y E [Y ])] :
La covarianza generalizza la varianza: se X ed Y sono uguali, vale
Cov (X; X) = V ar [X] :
Analogamente alla varianza, vale la formula (di facile dimostrazione)
Cov (X; Y ) = E [XY ] E [X] E [Y ] :
Ricordiamo che, se X ed Y sono indipendenti allora E [XY ] = E [X] E [Y ], ma non vale il
viceversa. Da questi fatti si deduce la seguente proprietà:
Proposizione 30 Se X ed Y sono indipendenti allora Cov (X; Y ) = 0.
Il viceversa però non è vero: non basta veri…care la singola condizione numerica Cov (X; Y ) =
0 per dedurre l’indipendenza. Tuttavia, nella pratica, c’è una certa (e giusti…cata) tendenza
a ritenere che la condizione Cov (X; Y ) = 0 sia un notevole sintomo di indipendenza.