Dispense

4.1. INTRODUZIONE 195
violate per serie temporali, ma in mancanza di meglio accettiamo questa imprecisione e pensiamo
a x1; :::; xn come ad un campione sperimentale. Che possiamo prevedere allora per il
prossimo valore pn+1? La media del campione è la previsione più immediata. Ogni previsione
che si discosti dalla media, ad esempio +2 , non si capisce perché dovrebbe essere migliore.
Casomai, si può discutere se invece della media non sia meglio la mediana. Oppure si può
prendere la media teorica di una densità modellata sui dati, anche se nella maggior parte dei
asi questo equivale a prendere la media aritmetica. Varianti a parte, usare la media aritmetica
per prevedere pn+1 corrisponde al considerare x1; :::; xn come un campione sperimentale
piuttosto che una serie storica, ignrando la struttura temporale dei dati. In situazioni veramente
molto aleatorie e poco strutturate (cioè senza trend e periodicità evidenti), questa
strategia è quasi l’unica che ha senso (anche se ad esempio gli AR ce la mettono tutta per
scoprire strutture nascoste). Aggiungiamo che, se si adotta questa strategia, cioè quella del
calcolo della media dei dati, è più che mai doveroso corredare la previsione di un intervallo
di con…denza.
Questi metodi sono tutti sottocasi degli AR che studieremo nella prossima sezione. Quando
chiediamo al software di calcolare i coe¢ cienti di un modello AR, i valori dei coe¢ cienti
presenti negli esempi appena descritti sono contemplati, quindi se non vengono scelti vuol
dire che ci sono valori migliori dei coe¢ cienti. Ad esempio, il software decide che invece di
pn+1 = xn+xn 1
2 è meglio usare pn+1 = 0:7 xn+0:3 xn 1, perché più aderente ai dati. Quindi,
in linea teorica, usando gli AR si comprende anche l’uso di questi modelli elementari.
Tuttavia, va tenuto presente che il metodo della media mobile è di fatto un modello ben
preciso. Sceglierlo signi…ca credere che la cosa migliore per riassumere i dati passati sia fare
la media aritmetica. Nelle serie …nanziarie questo è ciò che spesso si pensa. La ragione è la
loro enorme casualità, tale che ad ogni istante in un certo senso la serie si scorda del passato
(non è proprio così) e può crescere o decrescere allo stesso modo. Allora, predire ad esempio
il valore attuale (4.1) ha una sua logica, che può essere più veritiera della apparente struttura
identi…cata dai modelli AR (struttura identi…cata cercando di …ttare i dati meglio possibile,
ma può accadere che la struttura riscontrata in quei dati sia …nta, casuale essa stessa).
La scelta della media complessiva (4.2) ha una sua logica. Se si immagina che i dati
non abbiano alcuna struttura temporale, siano cioè puri campioni casuali di una grandezza
(come le misurazioni sperimentali di certe caratteristiche degli oggetti di un lotto), allora è
inutile o addirittura fuorviante cercare forzatamente una struttura con un metodo come AR
o Holt-Winters. Megli considerare i numeri della serie come un campione sperimentale di una
singola grandezza aleatoria X e stimare dai dati la sua densità di probabilità o almeno le sue
princpali grandezze medie (media e deviazione standard in primis) In una tale situazione, la
miglior previsione del valore successivo, pn+1, è la media di X, che abbiamo stimato con la
media aritmetica (4.2). Anche la mediana può avere una sua logica.
In…ne, se (come detto in precedenza) s ritiene che non tutta la serie storica sia rappresentativa
della situazione presente ma solo na …nestra recente di valori xk; :::; xn, e come poco
fa si ritiene che la struttura temporale non sia interessante ma solo la distribuzione statistica
dei valori, allora si cercherà di …ttare una densità di probabilità ai soli valori xk; :::; xn, e la
predizione del valore sucessivo pn+1 si farà con la media artimetica di questi numeri. Questa
è una motivazione alla base del metodo di media mobile che lo può far preferire a metodi
basati su modelli più elaborati ma magari meno veritieri, perché adattati ai valori speci…ci