Dispense

1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 25
Indichiamo in genere con le lettere X, Y ecc. le v.a. Ad esse sono associati degli eventi che
ci interessano in pratica, oppure in teoria. Ad esempio, può interessarci l’evento: fT > 10 oreg
dove T è la durata della batteria di un portatile, oppure l’evento fN = 2g dove N è il numero
di lavastoviglie che verranno richeste ad un certo negozio. In generale possiamo pensare che
gli eventi di interesse avranno la forma
fX 2 Ag
dove X è la v.a. che stiamo considerando ed A è un sottoinsieme dei numeri reali (o in certi
casi dei numeri naturali, ad esempio).
1.2.2 V.a. continue e loro densità di probabilità
Abbiamo detto che ci interessano eventi del tipo fX 2 Ag e quindi vorremo calcolarne la
probabilità. Si chiamano continue quelle v.a. X a cui è associata una densità di probabilità
f. La probabilità dell’evento fX 2 Ag si calcola mediante un integrale di f:
Z
P (X 2 A) = f (x) dx
dove l’integrale è esteso all’insieme A.
Per una v.a. continua X, tutte le probabilità del tipo P (X 2 A) si calcolano mediante
la densità f, quindi in un certo senso non serve avere una de…nizione rigorosa di v.a., è
su¢ ciente il concetto di densità e la convenzione di interpretare l’integrale R
A f (x) dx come
probabilità di un determinato evento. Per questo, entro certi limiti, si puòl fare a meno della
de…nizione rigorosa di v.a. In quest’ottica, il simbolo X non descrive un oggetto matematico
rigoroso, ma è solo un ausilio simbolico per abbreviare la scrittura di certi eventi e
di certe probabilità. Ad esempio, invece di scrivere “probabilità che la batteria duri più
di 10 ore”, scriviamo sinteticamente P (T > 10 ore). E’ solo una scrittura convenzionale.
R
Poi, per calcolare matematicamente questa probabilità, basta avere la densità f e calcolare
+1
10 f (x) dx.
Nella de…nizione di densità di probabilità abbiamo omesso alcune precisazioni matematiche,
che non approfondiamo in tutta la loro possibile generalità; accenniamo solo al fatto
che bisogna richiedere che abbia senso calcolare l’integrale, quindi bisogna far riferimento ad
una nozione di funzione integrabile. La versione facile di questa nozione è quella di funzione
integrabile secondo Riemann, che abbraccia ad esempio le funzioni continue e qualcosa in
A