Dispense

1.5. APPROFONDIMENTI SUI VETTORI ALEATORI 97
Quindi, in generale, abbiamo:
Proposizione 9 Se g è monotona e di¤erenziabile, la trasformazione di densità è data da
fY (y) = fX (x)
jg 0 (x)j y=g(x)
Osservazione 33 Se g non è monotona, sotto ipotesi opportune la formula si generalizza a
fY (y) = X
x:y=g(x)
fX (x)
jg 0 (x)j :
Esercizio 12 Se X è una v.a. esponenziale di parametro , trovare la densità di Y = X 2
seguendo il metodo di risoluzione degli esercizi precedenti e confrontare il risultato con la
formula generale.
Osservazione 34 Una seconda dimostrazione della formula precedente proviene dalla seguente
caratterizzazione delle densità: f è la densità di X se e solo se
Z
E [h (X)] = h (x) f (x) dx
R
per tutte le funzioni continue e limitate h. Usiamo questo fatto per dimostrare che fY (y) =
fX(x)
jg 0 (x)j y=g(x) è la densità di Y = g (X). Calcoliamo E [h (Y )] per una generica funzione
continua e limitata h. Dalla de…nizione di Y e dalla caratterizzazione precedente applicata a
X, abbiamo
Z
E [h (Y )] = E [h (g (X))] =
R
h (g (x)) f (x) dx:
Usiamo il teorema di cambio di variabile negli integrali, con y = g (x), se g è monotona,
biunivoca e di¤erenziabile. Abbiamo x = g 1 1
(y), dx = jg0 (g 1 dy (abbiamo scritto il valore
(y))j
assoluto per non cambiare gli estremi di integrazione) così che
Z
Z
h (g (x)) f (x) dx = h (y) f g 1 (y)
R
Se poniamo fY (y) := fX(x)
jg 0 (x)j y=g(x) abbiamo dimostrato che
R
Z
E [h (Y )] =
R
h (y) fY (y) dy
1
jg 0 (g 1 (y))j dy:
per ogni funzione continua e limitata h. Usando di nuovo la caratterizzazione, deduciamo che
fY (y) è la densità di Y . Questa dimostrazione è basata sul cambio di variabile negli integrali.
Osservazione 35 La stessa dimostrazione funziona nel caso multidimensionale, in cui non
riusciamo più a lavorare con le cdf. Bisogna usare il teorema di cambio di variabile negli
integrali multipli. Ricordiamo che in esso al posto di dy = g 0 (x)dx si deve usare dy =