Dispense

4.2. MODELLI ARIMA 201
Esempio 86 Consideriamo di nuovo
(ora b = 0) ma nel caso
Dalla formula
Xn = Xn 1 + "n
j j > 1:
Xn = n X0 + n 1 "1 + ::: + "n 1 + "n
vediamo intuitivamente che Xn è esponenzialmente grande in n in valore assoluto. Una giusti…cazione
precisa sarebbe un po’noiosa in quanto dipende dall’ampiezza e segno relativi dei
vari termini X0, "1 ecc. che, moltiplicati per potenze elevate di , determinano la divergenza
esponenziale. In casi molto particolari possono anche esserci delle cancellazioni tra alcuni di
questi termini (es. se X0 = "1, vale n X0 + n 1 "1 = 0) ma è chiaro che si tratta di
poche situazioni particolari.
Tra i modelli più utili per le applicazioni gestionali ci sono poi quelli con ritardo annuale,
orientati a catturare la periodicità annuale delle serie storiche di grandezze a carattere
stagionale.
Esempio 87 Il modello base di questo tipo è
Xn = Xn 12 + "n:
Anch’esso, si può dimostrare che ha soluzioni stazionarie se j j < 1 (ad esempio usando i
metodi della sezione 4.2.8). La logic dietro questo modello è semplicemente che il valore ad
es. di gennaio 2007 è pari a quello di gennaio 2006, lievemente ridotto, più una perturbazione
causale. La lieve riduzione, dovuta ad j j < 1, non è necessaria ed è anzi poco realistica se
si osserva il fenomeno concreto (economico ecc.) su una scala di pochissimi anni, 3-4. La
stazionarietà vale approssimativamente anche per = 1, su orizzonti temporali così brevi.
Esempio 88 Più aderente a moti esempi è il modello
Xn = 1Xn 1 + 12Xn 12 + "n
eventualmente anche con intercetta. Qui si sta immaginando, ad esempio, che il valore di
aprile 2007 sia in parte legato a quello di aprile 2006 ed in parte a marzo 2007. Si ammette
cioè che ci sia uno strascico da un mese all’altro, senza sbalzi del tutto causali tra un mese ed
il successivo; più una somiglianza con lo stesso mese dell’anno precedente. Tra i sottosempi,
si può ri‡ettere sul caso
con 2 (0; 1).
Xn = Xn 1 + (1 ) Xn 12 + "n
Naturalmente la precisione del modello aumenta se si cosidera anche il termine 2Xn 2,
oppure 24Xn 24. Ma d’altra parte più termini si mettono più il modello smette di essere
un vero “modello”, una sorta di formula generale, mentre tenta di inseguire le particolarità