Dispense

6.1. LA MATRICE DI CORRELAZIONE 321
6.1.1 Elevata correlazione non è sinonimo di causalità
Questo è un principio importante. Quando si riscontra un’elevata correlazione tra due
variabili X ed Y , nulla indica che X agisca su Y , che X sia la causa delle variazioni di
Y .
Un’ovvia ragione di tipo logico è che la correlazione è un’operazione simmetrica. Non
si vede come sia possibile quindi dedurne una causalità asimmetrica, in cui una delle due
variabili sia la causa (dovrebbe essere vero anche il viceversa, ma questo è assurdo nella
maggior parte dei problemi causa-e¤etto).
Cosa può allora indicare un’elevata correlazione tra X ed Y ? Almeno tre cose possibili:
X agisce su Y
Y agisce su X
c’è una causa comune Z; quando Z cambia, provoca cambiamenti di X e di Y simultaneamente;
noi osserviamo questi cambiamenti simultanei, quindi osserviamo una
correlazione tra X e Y .
Facciamo un esempio banale di errore che si commetterebbe attribuendo ad un’elevata
correlazione l’indicazione di una relazione causa-e¤etto: se si prende un gruppo di paesi
industrializzati con un livello di sviluppo simile, si può osservare che il numero X di cittadini
impegnati nell’istruzione è correlato al numero Y di cittadini impegnati nei trasporti. Ma
questo è semplicemente e¤etto delle dimensioni delle nazioni: una nazione più grossa avrà
più insegnanti e più trasporti, una più piccola ne avrà meno. Invece, è chiaro che X non è la
causa di Y e viceversa.
E’d’altra parte vero che un’elevata correlazione è improbabile tra due campioni indipendenti,
come mostra il paragrafo seguente. Quindi a fronte di un’elevata correlazione non
possiamo ignorare il fatto che un legame ci sia; resta però aperto il problema di quale sia
(cioè se sia diretto oppure indiretto).
Analisi Monte Carlo della correlazione di campioni indipendenti
Supponiamo che X1; :::; Xn sia un campione estratto da X ed Y1; :::; Yn un campione estratto
da Y , indipendenti. Per semplicità, supponiamo che le v.a. siano tutte gaussiane e, visto
che di correlazione si tratta, supponiamole standardizzate (questo non è restrittivo: la correlazione
di due v.a. o due campioni è uguale a quella delle v.a. o campioni standardizzati).
Che valori può assumere la correlazione? Fissato n, generiamo con R due stringhe di tal tipo
e calcoliamone la correlazione, e ripetiamo questo N volte. Tracciamo un istogramma dei
valori.
n=10; N=10000
COR