Dispense

332 CAPITOLO 6. STATISTICA MULTIVARIATA
6.3 Modelli lineari
Questa sezione è dedicata alla descrizione sintentica di una coppia di metodi di statistica
multivariata: la regressione lineare multipla e l’analisi fattoriale.
6.3.1 Introduzione: modelli lineari di legame tra variabili aleatorie
La teoria che stiamo per esporre vuole descrivere relazioni matematiche tra variabili aleatorie:
in tali relazioni appariranno variabili di input, dette ad esempio fattori o predittori, e variabili
di output, dette ad esempio risposte oppure osservabili. Le relazioni più semplici sono quelle
lineari o a¢ ni, che ora descriveremo.
Supponiamo che certe variabili di output Yi, i = 1; :::; m, siano legate a certe variabili di
input Xj, j = 1; :::; n, dalle relazioni a¢ ni
Yi = ai1X1 + ::: + ainXn + bi + i"i
i = 1; :::; m
dove i numeri aij sono i coe¢ cienti della relazione, i numeri bi sono le intercette (in senso
generalizzato), mentre le espressioni i"i sono variabili aleatorie che rappresentano gli errori
presenti nella relazione, errori ascrivibili a diverse cause, o di aleatorietà intrinseca o di
mancanza nostra di conoscenza e precisione nella descrizione dei legamo tra le X e le Y . Per
comodità, in tali errori separiamo una parte aleatoria "i a media nulla (l’eventuale media
non nulla dell’errore supponiamo di averla inglobata in bi) e varianza unitaria, per cui i
coe¢ cienti i rappresentano le deviazioni standard degli errori (questa convenzione è diversa
da quella adottata in certe parti del capitolo sulle serie temporali, ma non dovrebbe generarsi
confusione).
Una risposta, più fattori
Il caso di una sola v.a. di output Y ed uno o più fattori in input X1; :::; Xn è quello esaminato
dalla regressione lineare semplice (un fattore) o multipla (più fattori).
Esempio 107 Riprendiamo l’esempio della Sezione 6.2. Sappiamo che SA.SC, la proporzione
delle spese medie familiari dedicata ai soli alimenti, è (approssimativamente, si intende) direttamente
proporzionale a TD, il tasso di disoccupazione. Posto Y =SA.SC, X1 =TD, si
potrebbe studiare la regressione lineare semplice del tipo
Y = a1X1 + b + "
usando il comando lm(Y~X). Precisamente, se A