Dispense

86 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
ed applicando ad esse la LGN (per cui abbiamo che 1 Pn n i=1 Yi converge a E [Y1] = 2 ). Con
manipolazioni algebriche e la convergenza di Xn a , si vede poi che anche lo stimatore S2 ,
più usato, converge a 2 . In…ne, introducendo le v.a. Zi = (Xi X) (Yi Y ), si vede che
lo stimatore d CovXY introdotto nella lezione 3 converge a Cov (X; Y ). E così per tanti altri
esempi.
Vedremo tra poco la cosidetta legge forte dei grandi numeri. Non si dovrà però pensare
necessariamente che essa rimpiazzi la legge debole. Infatti, nella legge debole è contenuta
anche una stima quantitativa dell’errore che si commette approssimando con Xn, cosa che
si perderà nella legge forte. Il seguente esempio mostra un uso di tale stima quantitativa.
Esempio 58 Sia T la v.a. “durata della batteria del PC”. Supponiamo di non conoscere la
legge di T e di voler stimare la media E [T ] tramite esperiementi. In 20 sessioni di lavoro
al PC misuriamo la durata, ottenendo il campione sperimentale t1; :::; t20. Supponiamo che
la media e deviazione empiriche di tale campione siano risp. t = 3 h e S = 1 h. In prima
approssimazione riteniamo quindi che t = 3 h sia una discreta approssimazione di E [T ], per
la LGN. In più di questo, però, possiamo dire che
Se approssimiamo 2 con S 2 , troviamo
P T 20 E [T ] > "
P T 20 E [T ] > "
2
" 2 20 :
1
" 2 20 :
1
Ad esempio, per " = 30 min, risulta " 2 1 = 20 5 = 0:2. Quindi possiamo a¤ermare che con
probabilità 0.8 gli esperimenti dovevano fornire un valore t tale che
E [T ] = t 30 min.
A causa di questa a¤ermazione e dei nostri risultati sperimentali, con…diamo all’80% che
valga
E [T ] = 180 30 min.
Questo è un esempio di intervallo di con…denza.
L’esempio ora descritto mette in luce il fatto che, quantitativamente, la stima con 1
n è
piuttosto povera. Essa però si può migliorare, a patto di conoscere altre grandezze medie
legate alle variabili in gioco.
Esercizio 8 Date Xn i.i.d., supponiamo che siano simmetriche rispetto alla media , e che
sia
h
4
:= E (X ) 4i
< 1:
Allora
h
E
Xn
4 i
P Xn > "
= n 4 + 4
2
Quindi queste grandezze tendono a zero come 1
n 2 .
n 4 + 4
2
" 4n4 n (n 1) 4
n 4
n (n 1) 4
: