Dispense

206 CAPITOLO 4. ANALISI E PREVISIONE DI SERIE STORICHE
Esempio 91 Supponiamo ora che sia
Xt = a t + "t
dove "t è stazionario. Questo è un esempio molto schematico di processo con trend lineare.
Posto Yt = Xt, troviamo
Yt = a + ("t "t 1) :
Questo è un processo stazionario, per quanto visto sopra (però la sua media è a).
Appena si deriva, nasce il problema invers dell’integrazione. Data x possiamo calcolare
y = x; viceversa, data y, possiamo trovare x che risolve y = x? Basta risolvere
trovando
Il risultato è:
yt = xt xt 1
xt = yt + xt 1 = yt + yt 1 + xt 2 = ::: = yt + ::: + y1 + x0:
Proposizione 23 Se due successioni x ed y sono legate dalla relazione y = x, si può
ricostruire la successione x dalla y, usando x0, tramite la formula
xt = yt + ::: + y1 + x0:
I fatti precedenti si possono iterare. L’operatore di¤erenza seconda, 2 , è de…nito da
Per invertirlo, supponiamo che con y dato sia
Allora introduciamo z:
quindi prima ricostruiamo zt da yt:
dove
poi ricostruiamo xt da zt:
2 xt = (1 L) 2 xt:
yt = (1 L) 2 xt:
yt = (1 L) zt
zt = (1 L) xt
zt = yt + ::: + y2 + z1
z1 = (1 L) x1 = x1 x0
xt = zt + ::: + z1 + x0:
Proposizione 24 Se due successioni x ed y sono legate dalla relazione y = x, si può
ricostruire la successione x dalla y, usando x0 ed x1, tramite le formule
z1 = x1 x0
zt = yt + ::: + y2 + z1
xt = zt + ::: + z1 + x0:
Tutto questo si può generalizzare a d , per ogni intero positivo d.