Dispense

24 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
che è n (n 1) (n k + 1). Ribadiamo questa idea, che consigliamo di ra¢ gurare con un
disegno: 0 è suddiviso in x sottoinsiemi, le classi C, ciascuna fatta di k! elementi. Quindi
ed allora
x =
La dimostrazione è completa.
n (n 1) (n k + 1) = x k!
n (n 1) (n k + 1)
k!
= n
k :
Esempio 14 Consideriamo le 2 n stringhe (x1; :::; xn) in cui ciascun simbolo xi può assumere
solo i valori 0 ed 1. Chiediamoci: dato k n, quante di queste stringhe hanno k uni? La
risposta è n
k (quanti i sottoinsiemi di f1; :::; ng aventi cardinalità k).
Esempio 15 Quante sono le commissioni di 5 membri che si possono formare partendo da
15 persone? Quante i sottoinsiemi di f1; :::; 15g aventi cardinalità 5, quindi 15
5 . E se 7 delle
15 sono uomini, e la commissione si estrae a caso, che probabilità c’è che ci siano 3 uomini
in commissione? La probabilità richiesta è jAj
j j dove è l’insieme delle commissioni possibili
mentre A quello delle commissioni con 3 uomini. Allora j j = 15
5 . Per calcolare jAj si pensi
ad un primo esperimento in cui si scelgono tre uomini tra i 7 seguito da un secondo in cui si
scelgono 2 donne tra le 8. Nel primo esperimento ci sono 7
3 risultati possibili; nel secondo
. In conclusione,
8
2
. Per il principio di enumerazione, jAj = 7
3
jAj
j j =
8
2
7 8
3 2
15
5
1.2 Variabili aleatorie e valori medi
1.2.1 Introduzione
Cosa sono le variabili aleatorie (abbreviato v.a. nel seguito)? La risposta a questa domanda
è di gran lunga più so…sticata di molti altri elementi di teoria delle v.a. Quindi, per non
partire subito con le cose più di¢ cili, adottiamo una tattica pragmatica: ci accontentiamo di
sviluppare un’intuizione pratica di cosa sia una v.a., introduciamo alcuni oggetti matematici
che la descrivono (densità, ecc.) e cominciamo così a fare calcoli e vedere l’utilità pratica del
concetto. In un secondo momento torneremo sull’aspetto fondazionale e daremo la de…nizione
rigorosa di v.a., che costituirà anche il collegamento tra questo nuovo concetto e quello di
spazio probabilizzato introdotto nella prima lezione.
L’idea intuitiva è semplice: chiamiamo v.a. ogni grandezza su cui non possiamo fare
previsioni certe, ma di cui abbiamo informazioni probabilistiche nel senso speci…cato sotto
col concetto di densità. Ad esempio, una v.a. è la durata della batteria di un portatile,
il numero di esemplari di un certo prodotto che verranno richesti ad un negozio durante la
prossima settimana, la quantità di tra¢ co su un ramo della rete internet nelle prossime ore,
e così via.
: