Dispense

96 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
L’ultimo tipo di distribuzione si trova prendendo ad esempio
8
< 0 per x 0
F (x) = 1
:
(1
1
x) per
per
0 < x < 1
x 1
con > 0. Si trova, per n ! 1,
F (x) n G n 1= (x 1)
dove G(x) è la distribuzione del massimo di terzo tipo
G(x) = e ( x) per x < 0
1 per x 0 :
1.5 Approfondimenti sui vettori aleatori
1.5.1 Trasformazione di densità
Esercizio 10 Se X ha cdf FX (x) e g è strettamente crescente e continua, allora Y = g (X)
ha cdf
FY (y) = FX g 1 (y)
per tutte le y nell’immagine di g. Se g è strettamente decrescente e continua, la formula è
Soluzione:
FY (y) = 1 FX g 1 (y)
FY (y) = P (Y y) = P (g (X) y) = P X g 1 (y) = FX g 1 (y) :
La seconda è identica.
Esercizio 11 Se X ha una pdf continua fX (x) e g è strettamente crescente e di¤erenziabile,
allora Y = g (X) ha pdf
fY (y) = fX g 1 (y)
g 0 (g 1 (y)) = fX (x)
g 0 (x) y=g(x)
per tutte le y nell’immagine di g. Se g è decrescente e di¤erenziabile, la formula è
Soluzione: Vale
La seconda è identica.
fY (y) = fX (x)
g0 :
(x) y=g(x)
fY (y) = d
dy FY (y) = d
dy FX g 1 (y) = F 0 X g 1 (y) d
dy g 1 (y)
= fX g 1 (y)
1
g0 (g 1 (y)) = fX (x)
g0 :
(x) y=g(x)