Dispense

5.3. PROCESSI DI MARKOV A SALTI 283
Fin qui è tutto rigoroso. Ora dobbiamo accettare che, per " piccolo, in prima approssimazione
valga
P A (t+") jA (t)
P A (t+") jB (t)
n
P T perm
A
> "
P (TBn;A < ") :
Intuitivamente, P A (t+") jA (t) è la probabilità di trovarsi ancora in A dopo un tempo ", partendo
da A, quindi è la probabilità che il tempo di permanenza in A sia maggiore di ". Similmente
per la seconda uguaglianza. In realtà queste non sono esattamente delle uguaglianze,
per il fatto che nel pur brevissimo tempo " può accadere (ma ciò avviene con bassissima
probabilità) che il sistema percorra un più complicato cammino tra più stati, non solo la
singola transizione considerata sopra. Accettiamo questa approssimazione. Ricordiamo poi
che
P (TBn;A < ") = 1 e " Bn;A
quindi, per lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale, in prima approssimazione per " piccolo
vale
P (TBn;A < ") " Bn;A:
Similmente, ricordando che T perm
A
P T perm
A
ha parametro P
n A;Bn,
> " = e
Sostituendo nell’equazione (5.3) troviamo
da cui
A =
1 " X
X
" A
n
n
" P
n A;Bn 1 " X
A;Bn
!
A;Bn = " X
da cui …nalmente l’equazione del bilancio di ‡usso (5.2).
5.3.10 Il sistema delle equazioni di bilancio
n
A;Bn:
A + X
" Bn;A Bn
n
n
Bn Bn;A
Supponiamo di studiare un esempio con un numero …nito di stati. Per esempli…care, supponiamo
inizialmente di avere solo due stati, A e B. Scriviamo il bilancio di ‡usso sia in A
sia in B:
bilancio in A : A A;B = B B;A
bilancio in B : B B;A = A A;B:
Vediamo subito che queste due equazioni coincidono. Quindi è una sola equazione, nelle due
incognite A e B. Serve un’altra equazione. essa è
B + A = 1: