Dispense

5.6. PROCESSI NEL CONTINUO 301
parametri aleatori (es. non si conosce il valore esatto di una certa concentrazione
chimica)
c’è rumore di fondo
ci sono variabili che non sappiamo descrivere in modo deterministico.
Esempio 103 evoluzione di una frattura in una lastra di vetro esposta al vento. L’in‡uenza
del vento viene descritta da un processo stocastico t (es. pressione all’istante t), dato a
priori, con proprietà statistiche ragionevoli; l’ampiezza at della frattura risolve una certa
equazione di¤erenziale del tipo
dat
dt = f (at; t) :
La classe più importante di dinamiche stocastiche nel continuo è quella delle equazioni
di¤erenziali stocastiche. Sono equazioni di¤erenziali del tipo:
dXt
dt = b (Xt; t) + (Xt; t) dBt
dt
un analogo nel continuo delle equazioni ricorsive nel discreto, col white noise discreto Wn
(“white noise”nel continuo).
rimpiazzato da dBt
dt
La soluzione (Xt) t 0 è un processo stocastico. Possiamo simulare delle traiettorie di
(Xt) t 0 discretizzando l’equazione. Nella sezione 5.7 vedremo che possiamo anche calcolare
la densità di probabilità di Xt risolvendo un’equazione alle derivate parziali di tipo parabolico,
detta equazione di Fokker-Planck.
In questa sezione introduttiva mostriamo alcuni esempi numerici.
Equilibrio stocastico
L’equazione di¤erenziale
dXt
dt = Xt; X0 = x0
è uno dei modelli più semplici di sistema con un breve transitorio seguito da una situazione
di equilibrio. La soluzione è Xt = e t x0, che tende esponenzialmente all’equilibrio X = 0.
Se aggiungiamo un white noise
dXt
dt = Xt + dBt
dt ; X0 = x0
otteniamo ugualmente un sistema che rilassa all’equilibrio (la parte viscosa o dissipativa
Xt continua ad agire) ma il sistema ‡uttua in modo casuale attorno al vecchio equilibrio
deterministico. Possiamo considerare un equilibrio statistico, questa nuova situazione.