Dispense

106 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
QY = BQXB T :
Osservazione 40 Dall’esercizio vediamo che si può partire da un vettore non-degenere X
ed ottenere un vettore degenere Y , se B non è biunivoca. Questo accade sempre se m > n.
De…nizione tramite densità
Bisogna premettere il seguente lemma, un po’laborioso. Si consiglia di apprenderne l’enunciato
tralasciando la dimostrazione, almeno in un primo momento.
Lemma 2 Dato un vettore = ( 1; :::; n) ed una matrice n n simmetrica de…nita positiva
Q (cioè tale che vT Qv > 0 per ogni v 6= 0), si consideri la funzione
!
1
f (x) = p exp
n
(2 ) det(Q)
(x ) T Q 1 (x )
2
dove x = (x1; :::; xn) 2 R n . Si noti che la matrice inversa Q 1 è ben de…nita (in quanto Q è
de…nita positiva), il numero (x ) T Q 1 (x ) è non negativo, ed il determinante det(Q)
è positivo. Allora:
i) f (x) è una densità di probabilità;
ii) se X = (X1; :::; Xn) è un vettore aleatorio con tale densità congiunta, allora è il
vettore dei valori medi, nel senso che
e Q è la matrice di covarianza:
i = E [Xi]
Qij = Cov (Xi; Xj) :
Proof. Step 1. In questo primo passo spieghiamo il signi…cato dell’espressione che de…nisce
f (x). Abbiamo ricordato sopra che ogni matrice simmetrica Q può essere diagonalizzata,
cioè esiste una base ortonormale e1; :::; en di Rn in cui Q ha la forma
Qe =
0
@ 1 0 0
0 ::: 0
0 0 n
Inoltre, i valori i sulla diagonale sono gli autovalori di Q, ed i vettori ei sono i corrispondenti
autovettori. Si veda il paragrafo sulla matrice di correlazione per ulteriori dettagli. Sia U la
matrice introdotta in quel paragrafo, tale che U 1 = U T . Si ricordi la relazione Qe = UQU T .
Essendo v T Qv > 0 per tutti i vettori v 6= 0, vale
1
A :
v T Qev = v T U Q U T v > 0
per ogi v 6= 0 (in quanto U T v 6= 0). Preso in particolare v = ei, troviamo i > 0.
Se ne deduce che la matrice Qe è invertibile con inversa
0
1
Q 1
e =
@
1
1 0 0
0 ::: 0
0 0
1
n
A :