Dispense

174 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI
si introduce il troncamento x2N(n) della serie storica xn de…nito da
e la sua DTFT de…nita da
x2N(n) = xn 1 [ N;N](n) =
bx2N (!) = 1
p 2
(
xn se N n N
0 altrimenti
X
jnj N
e i!n xn:
Questo concetto non necessita dell’ipotesi x 2 l2 fatta all’inizio del paragrafo, utilizzata
per de…nire la DTFT. In altre parole, mentre la de…nizione della DTFT richiede ipotesi
di sommabilità della serie storica (noi abbiamo usato l’ipotesi x 2 l2), cioè un opportuno
decadimento all’in…nito dei valori xn, la de…nizione di bx2N (!) non richiede alcuna ipotesi di
questo tipo, è applicabile a qualsiasi successione di numeri reali o complessi.
Osservazione 59 Se (Xn) n2Z è un processo stocastico stazionario (non nullo) e (xn) n2Z è
una sua tipica realizzazione, xn non tende a zero per n ! 1. Questo sarebbe incompatibile
con la stazionarietà (nella prossima osservazione diamo delle giusti…cazioni per quest’a¤ermazione).
Quindi non possiamo calcolare bx (!) per le realizzazioni dei processi stazionari. Ma
possiamo calcolare bx2N (!). Su questa operazione si fonda il teorema di Wiener-Khinchine
che vedremo tra poco.
Osservazione 60 Intuitivamente, si capisce che le realizzazioni di un processo stazionario
non nullo non tendono a zero, osservando che le v.a. Xn hanno tutte la stessa varianza (non
nulla), quindi hanno valori distribuiti in un certo range, e non è naturale pensare che al
crescere di n questi valori tendano a zero, per le singole realizzazioni, quando la loro varianza
rimane costante. Rigorosamente, sotto opportune ipotesi di ergodicità, si può fare il seguente
ragionamento. Sia > 0 un numero tale che P (jXnj ) > 0. Un tale esiste altrimenti
la v.a. Xn sarebbe identicamente nulla. Consideriamo la funzione indicatrice dell’insieme
A := fx : jxj g
1A (x) =
(
1 se jxj
0 altrimenti
Consideriamo il processo Yn = 1A (Xn). La v.a. Yn vale 1 se jXnj , zero altrimenti,
quindi Yn è una Bernoulli di parametro p = P (jXnj ). Il processo (Yn) n2Z somiglia
quindi al processo di Bernoulli salvo per il fatto che le v.a. non sono indipendenti. E’ però
stazionario, se (Xn) n2Z era stazionario in senso stretto (ogni trasformazione di un processo
stazionario in senso stretto è stazionario in senso stretto, se la trasformazione ha una certa
proprietà di “misurabilità”; non entramio in questo dettaglio). Se il processo (Yn) n2Z è anche
ergodico, vale
1
n (Y1 + ::: + Yn) ! E [Y1] = p
ovvero
1
n (1A (X1) + ::: + 1A (Xn)) ! E [Y1] = p
: