Dispense

82 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
1.4 Teoremi limite
y
0.3
0.2
0.1
0.0
0 1 2 3 4 5
1.4.1 Convergenze di variabili aleatorie
Convergenze in probabilità ed in media quadratica
De…nizione 27 Diciamo che una successione fYng di v.a. converge in media quadratica ad
una v.a. Y se
lim
n!1 E
h
(Yn Y ) 2i
= 0:
Diciamo invece che converge in probabilità se
per ogni " > 0.
lim
n!1 P (jYn Y j > ") = 0
Lemma 1 La convergenza in media quadratica implica la convergenza in probabiltà. Inoltre,
quantitativamente, se per una certa successione numerica f ng vale
allora vale
Proof. Siccome
per la disuguaglianza di Chebishev vale
h
E (Yn Y ) 2i
P (jYn Y j > ")
n
n
" 2 :
P (jYn Y j > ") = P jYn Y j 2 > " 2
P (jYn Y j > ")
da cui discendono tutte le a¤ermazioni.
h
E (Yn Y ) 2i
" 2
x
;