Dispense

1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 55
Teorema 11 Se X ed Y sono v.a. indipendenti, allora
Cov (X; Y ) = 0; (X; Y ) = 0:
Viceversa, se Cov (X; Y ) = 0, non è detto che X ed Y siano indipendenti. Se però
(X; Y ) è gaussiano (de…nizione che daremo nel seguito) e Cov (X; Y ) = 0, allora X e Y sono
indipendenti.
De…nizione 20 Diciamo che X e Y sono scorrelate se hanno correlazione nulla, (X; Y ) =
0, o equivalentemente se Cov (X; Y ) = 0.
Quindi l’indipendenza implica la scorrelazione.
A livello numerico su dati sperimentali, se la correlazione è molto vicino a zero, questo è
un buon indicatore di indipendenza, o più precisamente di scorrelazione (invece, dipendendo
il numero Cov (X; Y ) dalla scala scelta, la sua vicinanza a zero è meno assoluta, quindi può
trarre in inganno). Precisiamo cosa intendiamo con correlazione di dati sperimentali. Stiamo
pensando di avere n coppie di valori sperimentali (x1; y1), ... , (xn; yn), o più espressivamente
una tabella
X Y
1 x1 y1
... ... ...
... ... ...
n xn yn
in cui le colonne corrispondono alle variabili e le righe agli “individui” (unità sperimentali,
unità osservate). Di questi dati sperimentali possiamo calcolare la varianza empirica ed il
coe¢ ciente di correlazione empirico de…niti da
dCov = 1
n
nX
(xi x) (yi y) ; b =
i=1
Pn i=1 (xi x) (yi y)
q
Pn
i=1 (xi x) 2 Pn i=1 (yi y) 2
:
Questi indicatori sono buone stime di quelli teorici, ad esempio per via della legge dei grandi
numeri, che descriveremo nella prossima lezione. Fatte queste premesse, la vicinanza a zero
di b si interpreta come sintomo di indipendenza o comunque bassa dipendenza, la vicinanza
ad 1 come elevato legame positivo, a 1 come elevato legame negativo.
Esaminiamo questi fatti per mezzo del software R. Innanzi tutto generiamo due campioni
di cardinalità 100, con distribuzione gaussiana standard, mostriamo le coppie (xi; yi) nel
piano cartesiano e calcoliamo la correlazione empirica:
X=rnorm(100); Y=rnorm(100)
cor(X,Y)
[1] 0.06068838
plot(X,Y)