Dispense

2.3. TEST STATISTICI 131
Precisazioni sulla statistica del test
Un test è un algoritmo. L’input è il campione sperimentale e l’ipotesi H0. l’output è il valore
della statistica del test, o un passo oltre il p-value. Indichiamo genericamente con z il valore
della statistica del test (era x nell’esempio).
Esempio 65 Un politico a¤erma che il 65% della popolazione è con lui, preferisce cioè l’alternativa
A alla B. Sospettiamo che abbia torto. Chiediamo allora a 100 persone ed osserviamo
che solo 47 preferiscono A a B. Dobbiamo confrontare l’ipotesi nulla H0=“il 65% preferisce
A a B”col campione. Abbiamo bisogno di un algoritmo che, presi i numeri 65, 47, 100 restituisca
un risultato, la statistica del test, che indichiamo con z. Un esempio banale potrebbe
essere l’errore relativo
z =
65 47
65
che però non tiene conto della numerosità del campione (è certo diverso chiedere a 10, a 100
o a 1000 persone).
Possiamo pensare che z sia aleatoria (si pensi a ripetere il campionamento), per cui sarebbe
meglio usare la notazione Z. La v.a. Z è più propriamente chiamata statistica del test, ed
ha una sua distribuzione di probabilità. Supponiamola descritta da una densità f (z).
Più precisamente, se H0 vale, allora Z ha densità fH0 (z). Se invece vale una certa ipotesi
alternativa H0 1 , Z avrà un’altra densità fH0 (z). Queste frasi spiegano l’idea ma non sono
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molto precise, o almeno non universali. Dipende se le ipotesi sono così precise da identi…care
una densità oppure sono vaghe. Un’ipotesi del tipo: la v.a. è gaussiana di media 3 e varianza
24 è precisa; mentre un’ipotesi del tipo: la v.a. è gaussiana di media 6= 3 e varianza 24 non
identi…ca una densità. In questo caso, se abbiamo bisogno di una densità anche per l’ipotesi
alternativa, questa va frammentata in sottoipotesi precise.
Introdotti questi concetti preliminari, il problema è: come si conclude, sulla base del
valore sperimentale z, se H0 è falsa?
Basta calcolare la probabilità che Z assuma valori più estremi di z, probabilità secondo
la densità fH0 (z) (il p-value).
C’è però un’alternativa: prescrivere a priori un valore piccolo di probabilità , es. 5%,
che identi…ca una coda (o due code) con tale probabilità; fatto questo, si va a vedere se z
cade nella coda o no. Se cade nella coda, si ri…uta H0.
Se z cade nella coda, signi…ca che sperimentalmente abbiamo osservato un accadimento
che aveva probabilità molto piccola di accadere, secondo fH0 (z). Siccome questo era improbabile
(relativamente al valore piccolo di probabilità pre…ssato), riteniamo che il campione
che ha prodotto quel valore di z non potesse provenire dalla v.a. di densità fH0 (z).
Possiamo quindi o calcolare la probabilità della coda identi…cata da z oppure decidere la
coda a priori e vedere se z ci cade dentro.
2.3.4 Errori di prima e seconda specie; signi…catività e potenza di un test
Supponiamo di aver sviluppato un test per valutare la validità di un’ipotesi. Il test non è
infallibile. Ri…utiamo l’ipotesi H0 se z cade nelle code; ma, quando l’ipotesi H0 è valida, z