Dispense

4.2. MODELLI ARIMA 203
cioè che sia possibile esprimere esplicitamente la soluzione Xt tramite l’input "t. Se "t rappresenta
l’errore (per noi è principalmente così), questa espressione esplicita non dice molto,
al massimo può essere utile per scopi teorici: si ricordi ad esempio (capitolo sui processi) che
la random walk, che è un AR(1), ammette la soluzione esplicita Xn = X0 + P n
i=1 "i, che
abbiamo usato per efettuare alcuni calcoli teorici. Oppure si veda il paragrafo 4.2.8 seguente.
Se però utilizzassimo i modelli AR(p) come modelli input-output, in cui "t è un fattore, una
variabile espicativa, un cotrollo, ed Xt è la variabile di output, allora è fondamentale sapere
come l’output dipende dall’input. L’equazione che de…nisce il modello AR(p) descrive come
Xt dipende dai valori precedenti dell’output stesso, più "t. Invece l’equazione (4.3) direbbe
in modo più esplicito come Xt dipende dall’input.
Date queste motivazioni, resta il problema pratico di cosa voglia dire 1 P p
k=1 kL k 1 "t.
A questo proposito si deve operare come se 1 P p
k=1 kL k 1 fosse un polinomio nella
variabile reale L.
Esempio 89 Ad esempio, se
(caso AR(1) con 1 = ), vale
quindi
1
pX
k=1
1
Xt =
kL k
Da qui possiamo calcolare ad esempio
pX
k=1
! 1
1X
i=1
Cov (Xt; Xt+n) =
=
=
1X
kL k = 1 L
= (1 L) 1 =
i L i "t =
1X
i=1 j=1
1X
i=1 j=1
1X
i=1
1X
1X
i=1
i "t i:
1X
i=1
i L i
i j Cov ("t i; "t+n j)
i j 2 (i j + n)
i i n 2 = n
da cui si vede che è un processo stazionario (Cov (Xt; Xt+n) indipendente da t; la media si
vede subito che è zero) ed abbiamo
n =
n :
Si leggano però le precisazioni dell’osservazione seguente.
Osservazione 67 Questa è in un certo senso un’altra dimostrazione di un fatto visto in un
esempio del capitolo sui processi stocastici. Però ci sono dei dettagli teorici da osservare. In
1
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